Bài1: Cho $a.b.c.d>0$ thoả mãn : $ab+bc+cd+ad=1$ CMR:
$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{a+c+d}+\frac{c^{3}}{b+a+d}+\frac{d^{3}}{b+c+a}\geq \frac{1}{3}$.
Bài2: Cho $a,b,c>0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR:
$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac}\leq \frac{9}{2}$
*Chú ý: Ai có thể SD phương pháp tiếp tuyến thì "chém" nhiệt tình cho mình nha:)
Cho $a.b.c.d>0$ thoả mãn : $ab+bc+cd+ad=1$.CMR:
Bắt đầu bởi ToanHocLaNiemVui, 22-03-2012 - 17:45
#1
Đã gửi 22-03-2012 - 17:45
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
#2
Đã gửi 22-03-2012 - 19:52
Bài 2 hình nhu tủ phải là bc thì phải , nếu nhu vậy thì :
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và Schwarz:
$\dfrac{bc}{1-bc}\le\dfrac{(b+c)^2}{4-2(b^2+c^2)}=\dfrac12.\dfrac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\le\dfrac12\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)$
Tương tự cộng lại được đpcm
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và Schwarz:
$\dfrac{bc}{1-bc}\le\dfrac{(b+c)^2}{4-2(b^2+c^2)}=\dfrac12.\dfrac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\le\dfrac12\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)$
Tương tự cộng lại được đpcm
- ToanHocLaNiemVui yêu thích
#3
Đã gửi 23-03-2012 - 17:17
Bài1: Cho $a.b.c.d>0$ thoả mãn : $ab+bc+cd+ad=1$ CMR:
$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{a+c+d}+\frac{c^{3}}{b+a+d}+\frac{d^{3}}{b+c+a}\geq \frac{1}{3}$.
$2=2ab+2bc+2ca+2da\leq a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+d^{2}+d^{2}+a^{2}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 1$
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số:
$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{a(b+c+d)}{9}\geq \frac{2a^{2}}{3}$
Tương tự cộng lại được:
$S\geq2\times\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}-\frac{1}{3}\geq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow$ đpcm.
$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{b^{3}}{a+c+d}+\frac{c^{3}}{b+a+d}+\frac{d^{3}}{b+c+a}\geq \frac{1}{3}$.
$2=2ab+2bc+2ca+2da\leq a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+d^{2}+d^{2}+a^{2}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 1$
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số:
$\frac{a^{3}}{b+c+d}+\frac{a(b+c+d)}{9}\geq \frac{2a^{2}}{3}$
Tương tự cộng lại được:
$S\geq2\times\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{3}-\frac{1}{3}\geq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow$ đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi beppkid: 23-03-2012 - 17:30
- nth1235 và ToanHocLaNiemVui thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh