Chủ đề này có 2 trả lời

[Le Quoc Tung]

$\sum \frac{ab}{a+3b+2c}\leq \frac{a+b+c}{6}$ với a,b,c >0

[phantomladyvskaitokid]

$\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}$

$\leq \frac{1}{9}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{2b}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{bc}{2c}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{2a})$

$=\frac{a+b+c}{6}$

[Cao Xuân Huy]

Bài này đã xuất hiện trong "Topic bđt THCS (2)" và toán tuổi thơ:

Ta có$\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \dfrac{ab}{9}(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b})$
Tương tự 2 cái còn lại
$A\leq \dfrac{1}{9}(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c})+\dfrac{1}{18}(a+b+c)$
Suy ra
$A\leq \dfrac{1}{9}(a+b+c)+\dfrac{1}{18}(a+b+c)=\dfrac{a+b+c}{6}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c