Chủ đề này có 1 trả lời

[whiterose96]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc. CMR
$\frac{a^{4}+b^{4}}{ab(a^{3}+b^{3})} + \frac{b^{4}+c^{4}}{bc(b^{3}+c^{3})} + \frac{c^{4}+a^{4}}{ca(c^{3}+a^{3})}\geq 1$

MOD: Công thức toán kẹp trong cặp dấu $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-03-2012 - 22:01

[phantomladyvskaitokid]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc. CMR
$\frac{a^{4}+b^{4}}{ab(a^{3}+b^{3})} + \frac{b^{4}+c^{4}}{bc(b^{3}+c^{3})} + \frac{c^{4}+a^{4}}{ca(c^{3}+a^{3})}\geq 1$

$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq \frac{a^4+b^4}{ab\sqrt{(a^2+b^2)(a^4+b^4)}}=\frac{\sqrt{a^4+b^4}}{ab\sqrt{a^2+b^2}}\geq \frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}ab\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}ab}\geq \frac{a+b}{2ab}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng vào

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

$(a^2+ab+b^2)(a-b)2\geq 0\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a-b)\geq 0\Leftrightarrow a^4+b^4 \Leftrightarrow ab^3+a^3b\Leftrightarrow 2(a^4+b^4)\geq (a+b)(a^3+b^3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phantomladyvskaitokid: 30-03-2012 - 06:41