Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $x,y \geq 0$. $x^{2} + y^{3} \geq x^{3} + y^{4}$ CMR $x^{3} + y^{3} \leqslant 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
mango

mango

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
Cho $x,y \geq 0$.
$x^{2} + y^{3} \geq x^{3} + y^{4}$

CMR
$x^{3} + y^{3} \leqslant 2$

#2
Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

@@, không ai chém bài 8 này sao :(. Để mình vậy!

$x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{4}+y^{2}$

$y^{4}+y^{2}\geq 2\sqrt{y^{4}y^{2}}=2y^{3}$ (BĐT $cosi$ cho 2 số $y^{4}; y^{2}$)

Do đó $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT buniakovsky ta có $(x^{2}+y^{2})^{2}=(\sqrt{x}.\sqrt{x^{3}}+\sqrt{y}.\sqrt{y^{3}})^{2}\leq (x+y).(x^{3}+y^{3})\leq (x+y).(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ (2)

Mặt khác: $(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})\leq 2(x+y) \Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có

$x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$


Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#3
phantomladyvskaitokid

phantomladyvskaitokid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết


2 đề này khác nhau mà

đây là bài Russia MO 1999 lời giải dùng Cauchy-Schwarz

$(x^3+y^3)^2\leq (x^3+y^4)(x^3+y^2)\leq (x^2+y^3)(x^3+y^2)\leq \frac{(x^3+y^3+x^2+y^2)^2}{4}\Rightarrow x^3+y^3\leq x^2+y^2$

làm tương tự...



#4
Mai Duc Khai

Mai Duc Khai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 617 Bài viết

2 đề này khác nhau mà

Ơ! Giống nhau mà bạn :ukliam2:

Tra cứu công thức toán trên diễn đàn


Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF


Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ

______________________________________________________________________________________________

‎- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm

- Đời chuyển ... Em xoay

Đời cay ... Em đắng


#5
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết

Cách 2 nè:
Ta có $(y^{2}-y)^{2}\geq 0 \Rightarrow 2y^{3}\leq y^{4}+y^{2} \Rightarrow (x^{3}+y^{3})+(x^{2}+y^{3})\leq (x^{2}+y^{2})+(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$
Do đó ta có $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2} (1)$
Mặt khác $x(x-1)^{2}\geq 0; y(y+1)(y-1)^{2}\geq 0$
Do đó $x(x-1)^{2}+y(y-1)(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{3}-2x^{2}+x+y^{4}-y^{3}-y^{2}+y\geq 0 \Rightarrow (x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{3})\leq (x+y) +(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^3+y^{4}\leq x^2+y^3$
DO đó ta có $x^2+y^2\leq x+y (2)$
Tương tự $(x+y)+(x^2+y^3)\leq 2+(x^3+y^4)$
Mà $x^3+y^4\leq x^2+y^3$$x^3+y^4\leq x^2+y^3$. Do đó ta có $x+y\leq 2 (3)$
Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có được $DPCM$.


Hình đã gửi


#6
phantomladyvskaitokid

phantomladyvskaitokid

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết
amen

nhầm với đề cho $x^2+y^2\geq x^3+y^4$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh