Cho $x,y \geq 0$. $x^{2} + y^{3} \geq x^{3} + y^{4}$ CMR $x^{3} + y^{3} \leqslant 2$
#1
Đã gửi 30-03-2012 - 12:40
$x^{2} + y^{3} \geq x^{3} + y^{4}$
CMR
$x^{3} + y^{3} \leqslant 2$
- Dung Dang Do yêu thích
#2
Đã gửi 30-03-2012 - 14:55
@@, không ai chém bài 8 này sao . Để mình vậy!
$x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4} \Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{4}+y^{2}$
Mà
$y^{4}+y^{2}\geq 2\sqrt{y^{4}y^{2}}=2y^{3}$ (BĐT $cosi$ cho 2 số $y^{4}; y^{2}$)
Do đó $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)
Áp dụng BĐT buniakovsky ta có $(x^{2}+y^{2})^{2}=(\sqrt{x}.\sqrt{x^{3}}+\sqrt{y}.\sqrt{y^{3}})^{2}\leq (x+y).(x^{3}+y^{3})\leq (x+y).(x^{2}+y^{2})\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$ (2)
Mặt khác: $(x+y)^{2}\leq 2(x^{2}+y^{2})\leq 2(x+y) \Rightarrow x+y\leq 2$ (3)
Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có
$x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq x+y\leq 2$
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
#3
Đã gửi 30-03-2012 - 17:08
2 đề này khác nhau mà
đây là bài Russia MO 1999 lời giải dùng Cauchy-Schwarz
$(x^3+y^3)^2\leq (x^3+y^4)(x^3+y^2)\leq (x^2+y^3)(x^3+y^2)\leq \frac{(x^3+y^3+x^2+y^2)^2}{4}\Rightarrow x^3+y^3\leq x^2+y^2$
làm tương tự...
#4
Đã gửi 30-03-2012 - 17:37
Ơ! Giống nhau mà bạn2 đề này khác nhau mà
Tra cứu công thức toán trên diễn đàn
Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF
Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ
______________________________________________________________________________________________
- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm
- Đời chuyển ... Em xoay
Đời cay ... Em đắng
#5
Đã gửi 30-03-2012 - 19:16
Cách 2 nè:
Ta có $(y^{2}-y)^{2}\geq 0 \Rightarrow 2y^{3}\leq y^{4}+y^{2} \Rightarrow (x^{3}+y^{3})+(x^{2}+y^{3})\leq (x^{2}+y^{2})+(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$
Do đó ta có $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2} (1)$
Mặt khác $x(x-1)^{2}\geq 0; y(y+1)(y-1)^{2}\geq 0$
Do đó $x(x-1)^{2}+y(y-1)(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{3}-2x^{2}+x+y^{4}-y^{3}-y^{2}+y\geq 0 \Rightarrow (x^{2}+y^{2})+(x^{2}+y^{3})\leq (x+y) +(x^{3}+y^{4})$
Mà $x^3+y^{4}\leq x^2+y^3$
DO đó ta có $x^2+y^2\leq x+y (2)$
Tương tự $(x+y)+(x^2+y^3)\leq 2+(x^3+y^4)$
Mà $x^3+y^4\leq x^2+y^3$$x^3+y^4\leq x^2+y^3$. Do đó ta có $x+y\leq 2 (3)$
Từ $(1); (2)$ và $(3)$ ta có được $DPCM$.
- Sun love moon HP yêu thích
#6
Đã gửi 30-03-2012 - 19:42
nhầm với đề cho $x^2+y^2\geq x^3+y^4$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh