Cho $\Delta$ABC có BD,CE là 2 phân giác cắt nhau tại G.C/m nếu GD=GE thì $\Delta$ABC cân tại hoặc $\widehat{BAC}=60^{\circ}$
C/m:Nếu GD=GE thì $\Delta$ABC cân tại A hoặc $\widehat{BAC}=60^{\circ}$
Bắt đầu bởi ducthinh26032011, 30-03-2012 - 19:55
#2
Đã gửi 30-03-2012 - 20:02
Kir
-
- Thành viên
-
- 111 Bài viết
Trung sĩ
Bài này cũng đơn giản thôi. Bạn lên mạng tra:bài toán Steiner-Leimus (cách 1)
Cách 2: Hình vẽ(Tự vẽ nha):
Tam giác ABC có 2 đường phân giác trong BD và CE bằng nhau.
Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của A qua phân giác ngoài của tam giác ABC tại B và C.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của phân giác ngoài của tam giác ABC tại B và C với AM, AN.
Gọi S, R lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường CQ và BP.
Vậy, ta có: Tam giác ABM và CAN cân => P, Q lần lượt là trung điểm của AM và AN => PQ là đường trung bình của tam giác AMN => PQ // BC.
Đồng thời, dễ dàng chứng minh S. PBD = S. ABD (chung đáy và đường cao bằng nhau) và S.RBD = S.CBD (tương tự). (kí hiệu S.PBD là diện tích PBD)
=> S.PDR = S.PBD + S.RBD = S.SBD + S.CBD =S.ABC hay S.PDR=S.ABC
Tương tự: S.ESQ = S.ABC
=> S.PDR = S.ESQ => BD.RP = CE.SQ (theo công thức tính diện tích)
mà BD = CE
=> PR = SQ
Tứ giác BCSR có BSC = BRC = 90 độ nên BCSR là tứ giác nội tiếp, mà PQ // BC nên tứ giác PQSR cũng nội tiếp, ta lại có PR = SQ nên tứ giác này là hình thang cân, suy ra RPQ = SQP => PBM = QCN.
Mà ABC = PBM và ACB = QCN
Vậy ABC = ACB hay tam giác ABC cân tại A.
Còn cách khác đơn giản hơn là vẽ 1 hình tròn ngoại tiếp BEDC
Cách 2: Hình vẽ(Tự vẽ nha):
Tam giác ABC có 2 đường phân giác trong BD và CE bằng nhau.
Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của A qua phân giác ngoài của tam giác ABC tại B và C.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của phân giác ngoài của tam giác ABC tại B và C với AM, AN.
Gọi S, R lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường CQ và BP.
Vậy, ta có: Tam giác ABM và CAN cân => P, Q lần lượt là trung điểm của AM và AN => PQ là đường trung bình của tam giác AMN => PQ // BC.
Đồng thời, dễ dàng chứng minh S. PBD = S. ABD (chung đáy và đường cao bằng nhau) và S.RBD = S.CBD (tương tự). (kí hiệu S.PBD là diện tích PBD)
=> S.PDR = S.PBD + S.RBD = S.SBD + S.CBD =S.ABC hay S.PDR=S.ABC
Tương tự: S.ESQ = S.ABC
=> S.PDR = S.ESQ => BD.RP = CE.SQ (theo công thức tính diện tích)
mà BD = CE
=> PR = SQ
Tứ giác BCSR có BSC = BRC = 90 độ nên BCSR là tứ giác nội tiếp, mà PQ // BC nên tứ giác PQSR cũng nội tiếp, ta lại có PR = SQ nên tứ giác này là hình thang cân, suy ra RPQ = SQP => PBM = QCN.
Mà ABC = PBM và ACB = QCN
Vậy ABC = ACB hay tam giác ABC cân tại A.
Còn cách khác đơn giản hơn là vẽ 1 hình tròn ngoại tiếp BEDC
- perfectstrong yêu thích
Kir - Kẻ lang thang giàu nhất thế giới
#3
Đã gửi 20-05-2012 - 22:44
henry0905
-
- Thành viên
-
- 892 Bài viết
Trung úy
Đề bài chỉ cho GD=GE. Làm gì có BD=CE mà bạn dùng?Bài này cũng đơn giản thôi. Bạn lên mạng tra:bài toán Steiner-Leimus (cách 1)
Cách 2: Hình vẽ(Tự vẽ nha):
Tam giác ABC có 2 đường phân giác trong BD và CE bằng nhau.
Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của A qua phân giác ngoài của tam giác ABC tại B và C.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của phân giác ngoài của tam giác ABC tại B và C với AM, AN.
Gọi S, R lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường CQ và BP.
Vậy, ta có: Tam giác ABM và CAN cân => P, Q lần lượt là trung điểm của AM và AN => PQ là đường trung bình của tam giác AMN => PQ // BC.
Đồng thời, dễ dàng chứng minh S. PBD = S. ABD (chung đáy và đường cao bằng nhau) và S.RBD = S.CBD (tương tự). (kí hiệu S.PBD là diện tích PBD)
=> S.PDR = S.PBD + S.RBD = S.SBD + S.CBD =S.ABC hay S.PDR=S.ABC
Tương tự: S.ESQ = S.ABC
=> S.PDR = S.ESQ => BD.RP = CE.SQ (theo công thức tính diện tích)
mà BD = CE
=> PR = SQ
Tứ giác BCSR có BSC = BRC = 90 độ nên BCSR là tứ giác nội tiếp, mà PQ // BC nên tứ giác PQSR cũng nội tiếp, ta lại có PR = SQ nên tứ giác này là hình thang cân, suy ra RPQ = SQP => PBM = QCN.
Mà ABC = PBM và ACB = QCN
Vậy ABC = ACB hay tam giác ABC cân tại A.
Còn cách khác đơn giản hơn là vẽ 1 hình tròn ngoại tiếp BEDC
- nhatoanhocVuVanKhoi yêu thích
#4
Đã gửi 21-05-2012 - 11:58
quangdung1997
-
- Thành viên
-
- 36 Bài viết
Binh nhất
bạn thử cách này của mình xem sao nha
Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của G lên AB và AC
Dễ thấy AMGN nt
$\Rightarrow$$\angle$GMN=$\angle$GAN
$\angle$GNM=$\angle$GAM
Hai đường phân giác BD và CE căt nhau tại G
$\Rightarrow$AG là đường phân giác thứ 3
$\Rightarrow$$\angle$GNM=$\angle$GMN
$\Rightarrow \Delta$GMN cân tại G
$\Rightarrow$GM=GN
$\Rightarrow \Delta$GEM=$\Delta$GND
$\Rightarrow \angle$GEM=$\angle$GND
$\Rightarrow \angle$BEC=$\angle$BDC
$\Rightarrow$BEDC nt
Đến đây thì quá dễ rồi
---
ĐHV: Lần sau chú ý về phần chữ bạn nhé, không nên quá lớn hoặc quá đậm, sẽ làm mất thẫm mĩ cho topic, thân !
Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của G lên AB và AC
Dễ thấy AMGN nt
$\Rightarrow$$\angle$GMN=$\angle$GAN
$\angle$GNM=$\angle$GAM
Hai đường phân giác BD và CE căt nhau tại G
$\Rightarrow$AG là đường phân giác thứ 3
$\Rightarrow$$\angle$GNM=$\angle$GMN
$\Rightarrow \Delta$GMN cân tại G
$\Rightarrow$GM=GN
$\Rightarrow \Delta$GEM=$\Delta$GND
$\Rightarrow \angle$GEM=$\angle$GND
$\Rightarrow \angle$BEC=$\angle$BDC
$\Rightarrow$BEDC nt
Đến đây thì quá dễ rồi
---
ĐHV: Lần sau chú ý về phần chữ bạn nhé, không nên quá lớn hoặc quá đậm, sẽ làm mất thẫm mĩ cho topic, thân !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 21-05-2012 - 12:05
- perfectstrong yêu thích
SỐNG YÊN VUI DANH LỢI MÃI COI THƯỜNG
TÂM BẤT BIẾN GIỮA DÒNG ĐỜI VẠN BIẾN
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
