Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

[Lớp 12] SAI LẦM Ở ĐÂU?

sai lầm ở đâu?

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 31-03-2012 - 00:26

Không gì quý bằng học được từ những sai lầm của chính mình. Tôpic này dùng để post các bài giải, lập luận sai lầm về kiến thức trong giải toán 12. Hi vọng đây là topic bổ ích cho các em HS lớp 12.

Chúng ta có 1 vài lưu ý sau:

- KHÔNG post các nghịch lý ở đây, vì diễn đàn đã có chỗ dành riêng cho các nghịch lí ở đây: http://diendantoanho...p?showforum=416
- Các mem nêu đề bài và lời giải sai nhớ đánh số thứ tự bài toán
- Các mem khác chỉ ra lỗi sai và post lời giải đúng, nên rút ra kết luận để khắc sâu, nắm vững hơn kiến thức.
- Giải xong bài đang có mới nên post tiếp bài sau, tránh post tràn lan.
- Bài viết Spam, chém gió, các ĐHV THPT cứ thẳng tay delete.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 01-04-2012 - 00:13

Bài toán 1

Đề bài
Tìm $a,b$ để hàm số $y=x^4+ax^2+b$. Tìm $a,b$ để hàm số có cực trị bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $x=1$

Bài làm:
Ta có $y'=4x^3+2ax$
Yêu cầu của bài toán tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix}y'(1)=0\\ y(1)=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a+4=0\\ a+b+1=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=-2\\b=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

Bài giải trên có đúng không? Hãy trình bày lời giải đúng

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-07-2012 - 23:02

Mở hàng cho topic này.

Trả lời: Bài giải trên là sai. Lời giải này chỉ là điều kiện cần chứ chưa đủ và nó không thể là tương đương.

Lời giải đúng.

* Điều kiện cần.

Ta có: $y' = 4{x^3} + 2ax$.

Hàm số có cực trị bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $x=1$ thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
y'\left( 1 \right) = 0\\
y\left( 1 \right) = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 + 2a = 0\\
1 + a + b = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = \frac{5}{2}
\end{array} \right.\]
* Điều kiện đủ.

Khi $a = - 2,\,\,b = \frac{5}{2}$ ta được hàm số: $y = {x^4} - 2{x^2} + \frac{5}{2}$

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y'' = 12x^2 - 4$.

Khi đó: $y''\left( 1 \right) = 8 > 0$ và $y\left( 1 \right) = \frac{3}{2}$. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và ${y_{CT}} = \frac{3}{2}$

(Phần này có thể lập bảng biến thiên)

* KẾT LUẬN: Giá trị cần tìm của $a,b$ là $a = - 2,b = \frac{5}{2}$

#4 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-07-2012 - 23:21

Bài toán 2

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a>0$, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất.

\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^y} - {e^x} = \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
y - x = a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\]
Bài làm.

* Điều kiện: $x > - 1,y > - 1$

* Rút $y$ từ phương trình $(2)$ thay vào phương trình $(1)$, ta có phương trình:
\[f\left( x \right) = {e^{x + a}} - {e^x} + \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + a + x} \right) = 0\]
Khi đó: \[f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} > 0\,\,\,\left( {a > 0,x > - 1} \right)\]
* Suy ra hàm $f(x)$ đồng biến trong khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

* Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm duy nhất. Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (đpcm)

-----
- Mr.3W: Bài làm trên đúng hay sai hả Mr.2W?
- Mr.2W: Đúng rồi!
- Mr.3W: Cậu chắc chắn không?
- Mr.2W: Tớ chắc chắn! Một lời giải chuẩn không cần chỉnh (vẫn còn đang suy nghĩ :P)
- Mr.3W: Vâng! Bạn giỏi quá??? ( :D)

Hỏi: Các bạn xem Mr.2W đúng hay sai. Nếu sai, hãy giúp bạn ấy đưa ra lời giải đúng.

#5 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-07-2012 - 10:36

Kết luận đạo hàm dương thiếu căn cứ quá!

Lấy một phản ví dụ: cho $x=-0,99$ và $a=1,5$

$f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} = e^{-0,99}\left(e^{1,5}-1\right)+\dfrac{1,5}{1-0,99(1+1,5-0,99)} \approx -1,73$

Ta có thể viết lại hệ như sau:

$\left\{\begin{array}{l} {e^y} + \ln (1+y) = e^x +\ln (1+x) \quad(1)\\ y=x+a\qquad(2) \end{array}\right.$

Xét hàm $f(x)=e^x+ \ln (1+x),\quad\text{với } x>-1$

có $f\,'(x)=e^x+\dfrac{1}{1+x}>0$

Vậy hàm $f(x)$ đơn điệu và liên tục trên $(-1,+\infty)$
Từ đó $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=y>-1$

Vậy hệ đã cho có nghiệm (và vô số nghiệm) khi và chỉ khi $a=0$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#6 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-07-2012 - 10:51

Kết luận đạo hàm dương thiếu căn cứ quá!

Lấy một phản ví dụ: cho $x=-0,99$ và $a=1,5$

$f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} = e^{-0,99}\left(e^{1,5}-1\right)+\dfrac{1,5}{1-0,99(1+1,5-0,99)} \approx -1,73$


Dạ vấn đề là tính đạo hàm bị sai thầy ạ :D

#7 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 08-07-2012 - 22:08

Bài toán 3.
Chứng minh BĐT của Vasile với $a,b,c \ge 0$.
$$\left (a^2+b^2+c^2\right )^2\ge 3\left (a^3b+b^3c+c^3a\right )$$
Chứng minh
Ta để ý rằng, $ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)\le \dfrac{2}{3}\left (a^2+b^2+c^2\right )^2$
Nên do tính bình đẳng, sẽ có $\left (a^2+b^2+c^2\right )^2\ge 3\left (a^3b+b^3c+c^3a\right )$
Lời giải trên sai ở đâu ? Không lẽ lại đơn giản như vậy :D Hãy chỉ ra chỗ sai và mở rộng đến những bài toán khác :D

Yêu cầu : Nên giải thích ngay trên bản chất của bài toán này !

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#8 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 28-06-2013 - 16:46

Bài toán 4

Tính $I=\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx$

Bài làm

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu ta có:

$$\frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+x-\sqrt{x^2+1}}{2x}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{x}+1  \right )-\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x}$$

Dễ thấy $y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x}$ là hàm số lẻ nên $\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{x^2+1}}{2x} dx = 0$. Do đó:

$$I = \int_{-1}^{1}\left ( \frac{1}{x}+1  \right )dx = \frac{1}{2}\left ( ln|x|+x \right )|_{-1}^1=1$$

 

Bài làm trên sai ở đâu?


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#9 coolcoolcool1997

coolcoolcool1997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lê Văn Hưu
  • Sở thích:Math, Game, Sport,...

Đã gửi 29-11-2013 - 21:27

Bài 4: Theo em là chỗ nhân liên hợp, x=0 => k xác định => sai chỗ này.



#10 pidollittle

pidollittle

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:my Dad's castle
  • Sở thích:science (especially astronomy)
    ko thích cách học thuộc lòng, gò bó
    love everyone

Đã gửi 27-05-2014 - 11:00

Bài toán 5

Thông thường, để xét xem pt có cực đại, cực tiểu hay không ta thường xét dấu đạo hàm cấp 2 y'' tại điểm $x_{o}$ với $x_{o}$ là  nghiệm của y'.

Tuy nhiên có một ví dụ mà mình nghĩ cách làm này không nên được áp dụng nữa. :P

Cho hàm số y = $\frac{x^{4}}{4}$. Ta sẽ xét xem pt có cực tiểu ko nhé!

Ta có: y' = $x^{3}$  và  y'' = $3x^2$

y' = 0 <=> x =0

Thay vào y'' ta thấy y'' =0. (có nghĩa là 'ko có cực trị')

Tuy nhiên thực ra, tại $x_{o}$ pt đạt cực tiểu với giá trị = 0?! (vì y $\geq$ 0 với mọi x)

Điều này là do mặc dù y'' = 0 nhưng đạo hàm y' vẫn đổi dấu, do đó xảy ra cực tiểu.

Kết luận: Vói y'' =0 tại $x_{o}$ pt vẫn có thể có cực tiểu và cực đại.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-05-2014 - 18:52


#11 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2075 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 27-05-2014 - 18:44

Thông thường, để xét xem pt có cực đại, cực tiểu hay không ta thường xét dấu đạo hàm cấp 2 y'' tại điểm $x_{o}$ với $x_{o}$ là  nghiệm của y'.

Tuy nhiên có một ví dụ mà mình nghĩ cách làm này không nên được áp dụng nữa. :P

Cho hàm số y = $\frac{x^{4}}{4}$. Ta sẽ xét xem pt có cực tiểu ko nhé!

Ta có: y' = $x^{3}$  và  y'' = $3x^2$

y' = 0 <=> x =0

Thay vào y'' ta thấy y'' =0. (có nghĩa là 'ko có cực trị')

Tuy nhiên thực ra, tại $x_{o}$ pt đạt cực tiểu với giá trị = 0?! (vì y $\geq$ 0 với mọi x)

Điều này là do mặc dù y'' = 0 nhưng đạo hàm y' vẫn đổi dấu, do đó xảy ra cực tiểu.

Kết luận: Vói y'' =0 tại $x_{o}$ pt vẫn có thể có cực tiểu và cực đại.

Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp hai liên tục tại $x_{0}$ và $f'(x_{0})=0$,

$a)$ Nếu $f''(x_{0})> 0$ thì hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$

$b)$ Nếu $f''(x_{0})< 0$ thì hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$

 

Còn nếu $f''(x_{0})=0$ thì CHƯA KHẲNG ĐỊNH ĐƯỢC là có cực trị tại $x_{0}$ hay không, chứ chưa thể kết luận là KHÔNG CÓ cực trị !

 

P/s : Bạn dùng từ pt (phương trình ?) là không đúng, phải sửa lại là " hàm số " nhé !


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-05-2014 - 18:47

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#12 megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2014 - 09:23

Bài toán 6:

Cho $a,b,c$ dương. CMR: $\sum \frac{a^{2}b(b-c)}{a+b}\geqslant 0$

Xét:$\sum \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{a+b}-\sum \frac{a^{2}bc\left ( b-c \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= \sum \left ( \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )} \right )\left [ \left ( a^{2}-ac+c^{2} \right )+\left ( b^{2}-bc \right ) \right ]\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}\left ( b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\geq 0$

$\sum \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{a+b}\geq \sum \frac{a^{2}bc\left ( b-c \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= 0$

 Sai lầm ở đâu



#13 phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phúc Thành - Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:Toán, Hóa, Sinh, Badminton

Đã gửi 05-06-2014 - 10:32

Bài toán 6:

Cho $a,b,c$ dương. CMR: $\sum \frac{a^{2}b(b-c)}{a+b}\geqslant 0$

Xét:$\sum \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{a+b}-\sum \frac{a^{2}bc\left ( b-c \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= \sum \left ( \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )} \right )\left [ \left ( a^{2}-ac+c^{2} \right )+\left ( b^{2}-bc \right ) \right ]\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}\left ( b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\geq 0$

$\sum \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{a+b}\geq \sum \frac{a^{2}bc\left ( b-c \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= 0$

 Sai lầm ở đâu

Chỗ này đánh giá mất tự nhiên!!!!!!!!! nên kết quả sai!!!!!!!

giả sử bài c làm là đúng!!!!!!

ta lại luôn có $\frac{1}{a+b}>\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

nên ta có: $\frac{a^{2}b}{a+b}> \frac{a^{2}bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Mà theo cách của c thì $\frac{a^{2}b(b-c)}{a+b}\geq \frac{a^{2}bc(b-c)}{\sum a^{2}}$ nên bắt buộc ta có $b-c\geq 0\Leftrightarrow b\geq c$

làm như vậy cuối cùng ta có điều hoán vị vòng quanh!!!!$a\geq b;b\geq c;c\geq a$ nên vô lý!!!!1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 05-06-2014 - 10:34

:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#14 thanhthanhtoan

thanhthanhtoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết

Đã gửi 13-08-2014 - 21:13

Bài toán 7:

 

Đề: Tìm $m$ để hàm số $y=mx^{4}+m-5$ đạt cực đại tại $x=0$

Gải:

Cách 1: Sử dụng dấu hiệu 2 của cựa trị:

$TXD: D=R\\ y'=4mx^{3}\\y''=12mx^{2}$

Để hàm số đạt CĐ tại $x=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0\in D \\ y'(0)=0\\y''(0)<0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m.0=0 (đúng \forall m) \\ 12m.0< 0 (không \exists m thỏa ) \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ không tồn tại $m$ thỏa..

 

Cách 2: Sử dụng dấu hiệu 1 của cực trị:

$y'=0\Leftrightarrow 4mx^{3}=0\Leftrightarrow x=0$

($m$ phải khác $0$ vì nếu $m=0$ thì y=-5 là 1 đường thẳng, hàm số không có cực trị)

 

Để hàm số có cực đại tại $x=0$ thì tại $0, y'$  đổi dấu từ $+$ sang $-$ (tính từ trái qua), do đó hệ số $a$ của $y'$ là $4m$ phải $-$, nghĩa là $m<0$

2014-08-13_210237.png

 

Vậy để hàm số đạt CĐ tại $x=0$ thì $m<0$

 

Vậy kết quả ở 2 cách là khác nhau. Mong các bạn và các anh chị chỉ giùm mình xem mình sai lầm ở đâu, hiểu sai lý thuyết ở chỗ nào. Mình cảm ơn nhiều!



#15 KaveZS

KaveZS

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-02-2017 - 18:03

@thanhthanhtoan


Cách 2 đúng. Cách 1 sai ở đoạn
Hàm số đạt CĐ tại
x = 0 <=> { x=0 ; y'(0)=0 ; y''(0)<0 }
Đây là định lí về cực trị trong SGK và chỉ đúng theo chiều thuận

 

Bài toán 8:

Tính tích phân $A = \int_{0}^{\pi/2}\frac{sin2x}{4-cos^{2}x}dx$
 

$A = \int_{0}^{\pi/2}\frac{-2cosx}{4-cos^{2}x}d(cosx)$

$=\int_{0}^{1}\frac{-2t}{4-t^{2}}dt$

$=\int_{0}^{1}\left (\frac{2}{2+t} - \frac{1}{2+t}- \frac{1}{2-t}  \right )dt$

$=ln3-2ln2$


 







 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KaveZS: 16-02-2017 - 18:05


#16 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-02-2017 - 23:47

@thanhthanhtoan

Cách 2 đúng. Cách 1 sai ở đoạnHàm số đạt CĐ tại x = 0 <=> { x=0 ; y'(0)=0 ; y''(0)<0 }
Đây là định lí về cực trị trong SGK và chỉ đúng theo chiều thuận

 
Bài toán 8:
Tính tích phân $A = \int_{0}^{\pi/2}\frac{sin2x}{4-cos^{2}x}dx$
 

$A = \int_{0}^{\pi/2}\frac{-2cosx}{4-cos^{2}x}d(cosx)$
$=\int_{0}^{1}\frac{-2t}{4-t^{2}}dt$
$=\int_{0}^{1}\left (\frac{2}{2+t} - \frac{1}{2+t}- \frac{1}{2-t}  \right )dt$
$=ln3-2ln2$

 


 

Đơn giản chỉ là nhầm dấu thôi $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh