Chủ đề này có 15 trả lời

[E. Galois]

Không gì quý bằng học được từ những sai lầm của chính mình. Tôpic này dùng để post các bài giải, lập luận sai lầm về kiến thức trong giải toán 12. Hi vọng đây là topic bổ ích cho các em HS lớp 12.

Chúng ta có 1 vài lưu ý sau:

- KHÔNG post các nghịch lý ở đây, vì diễn đàn đã có chỗ dành riêng cho các nghịch lí ở đây: http://diendantoanho...p?showforum=416
- Các mem nêu đề bài và lời giải sai nhớ đánh số thứ tự bài toán
- Các mem khác chỉ ra lỗi sai và post lời giải đúng, nên rút ra kết luận để khắc sâu, nắm vững hơn kiến thức.
- Giải xong bài đang có mới nên post tiếp bài sau, tránh post tràn lan.
- Bài viết Spam, chém gió, các ĐHV THPT cứ thẳng tay delete.

[E. Galois]

Bài toán 1

Đề bài
Tìm $a,b$ để hàm số $y=x^4+ax^2+b$. Tìm $a,b$ để hàm số có cực trị bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $x=1$

Bài làm:
Ta có $y'=4x^3+2ax$
Yêu cầu của bài toán tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix}y'(1)=0\\ y(1)=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a+4=0\\ a+b+1=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=-2\\b=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

Bài giải trên có đúng không? Hãy trình bày lời giải đúng

[Crystal]

Mở hàng cho topic này.

Trả lời: Bài giải trên là sai. Lời giải này chỉ là điều kiện cần chứ chưa đủ và nó không thể là tương đương.

Lời giải đúng.

* Điều kiện cần.

Ta có: $y' = 4{x^3} + 2ax$.

Hàm số có cực trị bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $x=1$ thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
y'\left( 1 \right) = 0\\
y\left( 1 \right) = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 + 2a = 0\\
1 + a + b = \frac{3}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = \frac{5}{2}
\end{array} \right.\]
* Điều kiện đủ.

Khi $a = - 2,\,\,b = \frac{5}{2}$ ta được hàm số: $y = {x^4} - 2{x^2} + \frac{5}{2}$

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y'' = 12x^2 - 4$.

Khi đó: $y''\left( 1 \right) = 8 > 0$ và $y\left( 1 \right) = \frac{3}{2}$. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và ${y_{CT}} = \frac{3}{2}$

(Phần này có thể lập bảng biến thiên)

* KẾT LUẬN: Giá trị cần tìm của $a,b$ là $a = - 2,b = \frac{5}{2}$

[Crystal]

Bài toán 2

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi $a>0$, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất.

\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^y} - {e^x} = \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
y - x = a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\]
Bài làm.

* Điều kiện: $x > - 1,y > - 1$

* Rút $y$ từ phương trình $(2)$ thay vào phương trình $(1)$, ta có phương trình:
\[f\left( x \right) = {e^{x + a}} - {e^x} + \ln \left( {1 + x} \right) - \ln \left( {1 + a + x} \right) = 0\]
Khi đó: \[f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} > 0\,\,\,\left( {a > 0,x > - 1} \right)\]
* Suy ra hàm $f(x)$ đồng biến trong khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

* Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm duy nhất. Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (đpcm)

-----
- Mr.3W: Bài làm trên đúng hay sai hả Mr.2W?
- Mr.2W: Đúng rồi!
- Mr.3W: Cậu chắc chắn không?
- Mr.2W: Tớ chắc chắn! Một lời giải chuẩn không cần chỉnh (vẫn còn đang suy nghĩ )
- Mr.3W: Vâng! Bạn giỏi quá??? ( )

Hỏi: Các bạn xem Mr.2W đúng hay sai. Nếu sai, hãy giúp bạn ấy đưa ra lời giải đúng.

[hxthanh]

Kết luận đạo hàm dương thiếu căn cứ quá!

Lấy một phản ví dụ: cho $x=-0,99$ và $a=1,5$

$f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} = e^{-0,99}\left(e^{1,5}-1\right)+\dfrac{1,5}{1-0,99(1+1,5-0,99)} \approx -1,73$

Ta có thể viết lại hệ như sau:

$\left\{\begin{array}{l} {e^y} + \ln (1+y) = e^x +\ln (1+x) \quad(1)\\ y=x+a\qquad(2) \end{array}\right.$

Xét hàm $f(x)=e^x+ \ln (1+x),\quad\text{với } x>-1$

có $f\,'(x)=e^x+\dfrac{1}{1+x}>0$

Vậy hàm $f(x)$ đơn điệu và liên tục trên $(-1,+\infty)$
Từ đó $(1)$ có nghiệm duy nhất $x=y>-1$

Vậy hệ đã cho có nghiệm (và vô số nghiệm) khi và chỉ khi $a=0$

[Crystal]

Kết luận đạo hàm dương thiếu căn cứ quá!

Lấy một phản ví dụ: cho $x=-0,99$ và $a=1,5$

$f'\left( x \right) = {e^x}\left( {{e^a} - 1} \right) + \frac{a}{{1 + x\left( {1 + a + x} \right)}} = e^{-0,99}\left(e^{1,5}-1\right)+\dfrac{1,5}{1-0,99(1+1,5-0,99)} \approx -1,73$

Dạ vấn đề là tính đạo hàm bị sai thầy ạ

[Tham Lang]

Bài toán 3.
Chứng minh BĐT của Vasile với $a,b,c \ge 0$.
$$\left (a^2+b^2+c^2\right )^2\ge 3\left (a^3b+b^3c+c^3a\right )$$
Chứng minh
Ta để ý rằng, $ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)\le \dfrac{2}{3}\left (a^2+b^2+c^2\right )^2$
Nên do tính bình đẳng, sẽ có $\left (a^2+b^2+c^2\right )^2\ge 3\left (a^3b+b^3c+c^3a\right )$
Lời giải trên sai ở đâu ? Không lẽ lại đơn giản như vậy Hãy chỉ ra chỗ sai và mở rộng đến những bài toán khác
Yêu cầu : Nên giải thích ngay trên bản chất của bài toán này !

[E. Galois]

Bài toán 4

Tính $I=\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}dx$

Bài làm

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu ta có:

$$\frac{1}{1+x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+x-\sqrt{x^2+1}}{2x}=\frac{1}{2}\left (\frac{1}{x}+1  \right )-\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x}$$

Dễ thấy $y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x}$ là hàm số lẻ nên $\int_{-1}^1 \frac{\sqrt{x^2+1}}{2x} dx = 0$. Do đó:

$$I = \int_{-1}^{1}\left ( \frac{1}{x}+1  \right )dx = \frac{1}{2}\left ( ln|x|+x \right )|_{-1}^1=1$$

 

Bài làm trên sai ở đâu?

[coolcoolcool1997]

Bài 4: Theo em là chỗ nhân liên hợp, x=0 => k xác định => sai chỗ này.

[pidollittle]

Bài toán 5

Thông thường, để xét xem pt có cực đại, cực tiểu hay không ta thường xét dấu đạo hàm cấp 2 y'' tại điểm $x_{o}$ với $x_{o}$ là  nghiệm của y'.

Tuy nhiên có một ví dụ mà mình nghĩ cách làm này không nên được áp dụng nữa.

Cho hàm số y = $\frac{x^{4}}{4}$. Ta sẽ xét xem pt có cực tiểu ko nhé!

Ta có: y' = $x^{3}$  và  y'' = $3x^2$

y' = 0 <=> x =0

Thay vào y'' ta thấy y'' =0. (có nghĩa là 'ko có cực trị')

Tuy nhiên thực ra, tại $x_{o}$ pt đạt cực tiểu với giá trị = 0?! (vì y $\geq$ 0 với mọi x)

Điều này là do mặc dù y'' = 0 nhưng đạo hàm y' vẫn đổi dấu, do đó xảy ra cực tiểu.

Kết luận: Vói y'' =0 tại $x_{o}$ pt vẫn có thể có cực tiểu và cực đại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-05-2014 - 18:52

[chanhquocnghiem]

Thông thường, để xét xem pt có cực đại, cực tiểu hay không ta thường xét dấu đạo hàm cấp 2 y'' tại điểm $x_{o}$ với $x_{o}$ là  nghiệm của y'.

Tuy nhiên có một ví dụ mà mình nghĩ cách làm này không nên được áp dụng nữa.

Cho hàm số y = $\frac{x^{4}}{4}$. Ta sẽ xét xem pt có cực tiểu ko nhé!

Ta có: y' = $x^{3}$  và  y'' = $3x^2$

y' = 0 <=> x =0

Thay vào y'' ta thấy y'' =0. (có nghĩa là 'ko có cực trị')

Tuy nhiên thực ra, tại $x_{o}$ pt đạt cực tiểu với giá trị = 0?! (vì y $\geq$ 0 với mọi x)

Điều này là do mặc dù y'' = 0 nhưng đạo hàm y' vẫn đổi dấu, do đó xảy ra cực tiểu.

Kết luận: Vói y'' =0 tại $x_{o}$ pt vẫn có thể có cực tiểu và cực đại.

Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp hai liên tục tại $x_{0}$ và $f'(x_{0})=0$,

$a)$ Nếu $f''(x_{0})> 0$ thì hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$

$b)$ Nếu $f''(x_{0})< 0$ thì hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_{0}$

 

Còn nếu $f''(x_{0})=0$ thì CHƯA KHẲNG ĐỊNH ĐƯỢC là có cực trị tại $x_{0}$ hay không, chứ chưa thể kết luận là KHÔNG CÓ cực trị !

 

P/s : Bạn dùng từ pt (phương trình ?) là không đúng, phải sửa lại là " hàm số " nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-05-2014 - 18:47

[megamewtwo]

Bài toán 6:

Cho $a,b,c$ dương. CMR: $\sum \frac{a^{2}b(b-c)}{a+b}\geqslant 0$

Xét:$\sum \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{a+b}-\sum \frac{a^{2}bc\left ( b-c \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= \sum \left ( \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )} \right )\left [ \left ( a^{2}-ac+c^{2} \right )+\left ( b^{2}-bc \right ) \right ]\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}\left ( b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\geq 0$

$\sum \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{a+b}\geq \sum \frac{a^{2}bc\left ( b-c \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= 0$

 Sai lầm ở đâu

[phamquanglam]

Bài toán 6:

Cho $a,b,c$ dương. CMR: $\sum \frac{a^{2}b(b-c)}{a+b}\geqslant 0$

Xét:$\sum \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{a+b}-\sum \frac{a^{2}bc\left ( b-c \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= \sum \left ( \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )} \right )\left [ \left ( a^{2}-ac+c^{2} \right )+\left ( b^{2}-bc \right ) \right ]\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}\left ( b-c \right )^{2}}{\left ( a+b \right )\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\geq 0$

$\sum \frac{a^{2}b\left ( b-c \right )}{a+b}\geq \sum \frac{a^{2}bc\left ( b-c \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= 0$

 Sai lầm ở đâu

Chỗ này đánh giá mất tự nhiên!!!!!!!!! nên kết quả sai!!!!!!!

giả sử bài c làm là đúng!!!!!!

ta lại luôn có $\frac{1}{a+b}>\frac{c}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

nên ta có: $\frac{a^{2}b}{a+b}> \frac{a^{2}bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Mà theo cách của c thì $\frac{a^{2}b(b-c)}{a+b}\geq \frac{a^{2}bc(b-c)}{\sum a^{2}}$ nên bắt buộc ta có $b-c\geq 0\Leftrightarrow b\geq c$

làm như vậy cuối cùng ta có điều hoán vị vòng quanh!!!!$a\geq b;b\geq c;c\geq a$ nên vô lý!!!!1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 05-06-2014 - 10:34

[thanhthanhtoan]

Bài toán 7:

 

Đề: Tìm $m$ để hàm số $y=mx^{4}+m-5$ đạt cực đại tại $x=0$

Gải:

Cách 1: Sử dụng dấu hiệu 2 của cựa trị:

$TXD: D=R\\ y'=4mx^{3}\\y''=12mx^{2}$

Để hàm số đạt CĐ tại $x=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0\in D \\ y'(0)=0\\y''(0)<0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m.0=0 (đúng \forall m) \\ 12m.0< 0 (không \exists m thỏa ) \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ không tồn tại $m$ thỏa..

 

Cách 2: Sử dụng dấu hiệu 1 của cực trị:

$y'=0\Leftrightarrow 4mx^{3}=0\Leftrightarrow x=0$

($m$ phải khác $0$ vì nếu $m=0$ thì y=-5 là 1 đường thẳng, hàm số không có cực trị)

 

Để hàm số có cực đại tại $x=0$ thì tại $0, y'$  đổi dấu từ $+$ sang $-$ (tính từ trái qua), do đó hệ số $a$ của $y'$ là $4m$ phải $-$, nghĩa là $m<0$

 

Vậy để hàm số đạt CĐ tại $x=0$ thì $m<0$

 

Vậy kết quả ở 2 cách là khác nhau. Mong các bạn và các anh chị chỉ giùm mình xem mình sai lầm ở đâu, hiểu sai lý thuyết ở chỗ nào. Mình cảm ơn nhiều!

[KaveZS]

@thanhthanhtoan

Cách 2 đúng. Cách 1 sai ở đoạn
Hàm số đạt CĐ tại x = 0 <=> { x=0 ; y'(0)=0 ; y''(0)<0 }
Đây là định lí về cực trị trong SGK và chỉ đúng theo chiều thuận

 

Bài toán 8:

Tính tích phân $A = \int_{0}^{\pi/2}\frac{sin2x}{4-cos^{2}x}dx$
 

$A = \int_{0}^{\pi/2}\frac{-2cosx}{4-cos^{2}x}d(cosx)$

$=\int_{0}^{1}\frac{-2t}{4-t^{2}}dt$

$=\int_{0}^{1}\left (\frac{2}{2+t} - \frac{1}{2+t}- \frac{1}{2-t}  \right )dt$

$=ln3-2ln2$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KaveZS: 16-02-2017 - 18:05

[hxthanh]

@thanhthanhtoan

Cách 2 đúng. Cách 1 sai ở đoạnHàm số đạt CĐ tại x = 0 <=> { x=0 ; y'(0)=0 ; y''(0)<0 }
Đây là định lí về cực trị trong SGK và chỉ đúng theo chiều thuận

 
Bài toán 8:
Tính tích phân $A = \int_{0}^{\pi/2}\frac{sin2x}{4-cos^{2}x}dx$
 

$A = \int_{0}^{\pi/2}\frac{-2cosx}{4-cos^{2}x}d(cosx)$
$=\int_{0}^{1}\frac{-2t}{4-t^{2}}dt$
$=\int_{0}^{1}\left (\frac{2}{2+t} - \frac{1}{2+t}- \frac{1}{2-t}  \right )dt$
$=ln3-2ln2$
 

 

Đơn giản chỉ là nhầm dấu thôi $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$