Chủ đề này có 7 trả lời

[xuanhung]

Giải phương trình
$\frac{2^{x}}{4^{x}+1}+\frac{4^{x}}{2^{x}+1}+\frac{2^{x}}{4^{x}+2^{x}}=\frac{3}{2}$

MOD Công thức kẹp trong cặp dấu $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 31-03-2012 - 18:04

[dark templar]

Giải phương trình
$\frac{2^{x}}{4^{x}+1}+\frac{4^{x}}{2^{x}+1}+\frac{2^{x}}{4^{x}+2^{x}}=\frac{3}{2}$

Đặt $2^{x}=a(a>0)$ thì $4^{x}=a^2$.Vậy phương trình ban đầu tương đương với:
$$\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{a+1}=\frac{3}{2} \iff 2a^2-3a^3+3a^2-a-1=0 \iff (a-1)(2a^3-a^2+2a+1)=0$$
Như vậy ta đã có 1 nghiệm $a=1 \iff x=0$.Việc còn lại chỉ là giải phương trình bậc 3 sau:
$$2a^3-a^2+2a+1=0$$
Xét $f(a)=2a^3-a^2+2a+1(a>0)$
$f'(a)=6a^2-2a+2=(a-1)^2+5a^2+1>0;\forall a>0$.
Vậy hàm số $f(a)$ đồng biến trên $(0;+\infty)$.Suy ra:$f(a)>f(0)=1>0$
Như vậy phương trình $f(a)=0$ vô nghiệm.Suy ra phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $\boxed {x=0}$.

[xuanhung]

Đặt $2^{x}=a(a>0)$ thì $4^{x}=a^2$.Vậy phương trình ban đầu tương đương với:
$$\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{a+1}=\frac{3}{2} \iff 2a^2-3a^3+3a^2-a-1=0 \iff (a-1)(2a^3-a^2+2a+1)=0$$
Như vậy ta đã có 1 nghiệm $a=1 \iff x=0$.Việc còn lại chỉ là giải phương trình bậc 3 sau:
$$2a^3-a^2+2a+1=0$$
Xét $f(a)=2a^3-a^2+2a+1(a>0)$
$f'(a)=6a^2-2a+2=(a-1)^2+5a^2+1>0;\forall a>0$.
Vậy hàm số $f(a)$ đồng biến trên $(0;+\infty)$.Suy ra:$f(a)>f(0)=1>0$
Như vậy phương trình $f(a)=0$ vô nghiệm.Suy ra phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $\boxed {x=0}$.

Ý anh là $$4^{x}$$ là sao ạ theo em nghĩ thì $$2^{2^{x}}$$, nhưng như vậy thì ko dc như anh nói

[tieulyly1995]

Ý anh là $$4^{x}$$ là sao ạ theo em nghĩ thì $$2^{2^{x}}$$, nhưng như vậy thì ko dc như anh nói

Ta có :
$4^{x}=2^{x}.2^{x}=a^{2}$
hoặc $4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}=(2^{x})^{2}=a^{2}$
còn như kiểu của em thì
$2^{2^{x}}=2^{(2^{x})}\neq (2^{2})^{x}= 4^{x}$
Tính phần mũ trước mà em

[Crystal]

Bài này còn một cách là đặt ẩn rồi sử dụng bất đẳng thức cổ điển.

Các bạn thử suy nghĩ tiếp nhé.

Cách giải trên không phù hợp với THCS, bởi lẽ nó sử dụng đến kiến thức đạo hàm ở THPT.

Nếu sử dụng bất đẳng thức cổ điển thì sẽ phù hợp hơn và khá gần gũi.

[triethuynhmath]

Bài này còn một cách là đặt ẩn rồi sử dụng bất đẳng thức cổ điển.

Các bạn thử suy nghĩ tiếp nhé.

Cách giải trên không phù hợp với THCS, bởi lẽ nó sử dụng đến kiến thức đạo hàm ở THPT.

Nếu sử dụng bất đẳng thức cổ điển thì sẽ phù hợp hơn và khá gần gũi.

Đúng vậy chúng ta có thể giải bài này = cách sử dụng BĐT Nesbit:
Ta có :
$2^x,4^x>0$ với mọi x.
Áp dụng BĐT Nesbit,ta có :
$\frac{2^x}{4^x+1}+\frac{4^x}{2^x+1}+\frac{1}{2^x+4^x}\geq \frac{3}{2}$
Vậy để PT có nghiệm thì dấu = phải xảy ra ở BĐT Nesbit.Vậy $2^x=4^x=1<=> x=0$
P/s:Em giải vậy chuẩn không anh WWW

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 17-07-2012 - 22:51

[BoFaKe]

Bài này còn một cách là đặt ẩn rồi sử dụng bất đẳng thức cổ điển.

Các bạn thử suy nghĩ tiếp nhé.

Cách giải trên không phù hợp với THCS, bởi lẽ nó sử dụng đến kiến thức đạo hàm ở THPT.

Nếu sử dụng bất đẳng thức cổ điển thì sẽ phù hợp hơn và khá gần gũi.

Không biết có phải cách này không :
Đặt $a=2^x$ và $b=4^x$$(a,b> 0)$
Khi đó phương trình có dạng :$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{a+b}= \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left [ \left ( b+1 \right )+\left ( a+1 \right )+\left ( a+b \right ) \right ](\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+b})-3$$\geq \frac{1}{2}.9-3= \frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi $a+1= b+1=a+b$$\Leftrightarrow 2^{x}= 4^{x}= 1\Rightarrow x=0.$
Vậy x=0 (phải vậy không nhỉ )

[tkvn97]

Không biết có phải cách này không :
Đặt $a=2^x$ và $b=4^x$$(a,b> 0)$
Khi đó phương trình có dạng :$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{a+b}= \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left [ \left ( b+1 \right )+\left ( a+1 \right )+\left ( a+b \right ) \right ](\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+b})-3$$\geq \frac{1}{2}.9-3= \frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi $a+1= b+1=a+b$$\Leftrightarrow 2^{x}= 4^{x}= 1\Rightarrow x=0.$
Vậy x=0 (phải vậy không nhỉ )

Đến chỗ em đặt đó là ra bất ssawng thức Nesbit rồi đó bộ (a, b , 1)