Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC vuông cân tại C .gọi E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B vẽ tia vuông góc với tia AE cắt AE tại H, AC tại K. chứng minh BE.BC + AE.AH


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
legialoi

legialoi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
Cho tam giác ABC vuông cân tại C .gọi E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B vẽ tia vuông góc với tia AE cắt AE tại H, AC tại K.
chứng minh BE.BC + AE.AH không đổi khi E di chuyễn trên cạnh BC

#2
ngoc980

ngoc980

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết

Cho tam giác ABC vuông cân tại C .gọi E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B vẽ tia vuông góc với tia AE cắt AE tại H, AC tại K.
chứng minh BE.BC + AE.AH không đổi khi E di chuyễn trên cạnh BC

Giải như sau :
Ta có: $\Delta ACE\sim AHK$(G-G)$\Rightarrow \frac{AC}{AH}=\frac{AE}{AK}\Rightarrow AE.AH=AC.AK$ (1)
$\Delta BHE\sim \Delta BCK\Rightarrow \frac{BH}{BC}=\frac{BE}{KB}\Rightarrow BC.BE=BH.KB$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra BE.BC+AE.AH=BH.KB+AC.AK
Mặt khác $\Delta ACE=\Delta BCK$(G-C-G) $\Rightarrow AE=BK$;$S_{\Delta ACE}=S_{BCK}$
BE.BC+AE.AH=BH.KB+AC.AK hay BE.BC+AE.AH=BH.AE+ABC.AK
Lại có: BH.AE+ABC.AK= $S_{\Delta AEB }+S_{\Delta ABK}$=$S_{\Delta AEB }+S_{\Delta BCK}+S_{\Delta ABC}=S_{\Delta AEB}+S_{\Delta ACE}+S_{\Delta ABC}=2S_{\Delta ABC}$ (không đổi)
suy ra BH.AE+ABC.AK không đổi hay BE.BC+AE.AH không đổi
$\Rightarrow$ đpcm

Đừng để những khó khăn đánh gục bạn, hãy kiên nhẫn rồi bạn sẽ vượt qua.

Đừng chờ đợi những gì bạn muốn mà hãy đi tìm kiếm chúng.


#3
legialoi

legialoi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
Ta có $\triangle ACE\sim \triangle AHK\Rightarrow \frac{AE}{AK}=\frac{AC}{AH}\Rightarrow AE.AH = KA.AC (1)$
$\triangle BHE\sim \triangle BCK\Rightarrow \frac{BE}{BK}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow BE.BC = BH.BK (2)$
Từ (1)(2) suy ra BE.BC + AE.AH = KA.AC + BH.BK = KA(KA-KC) + BK(KB-KH) = $\ KA^{2}-KA.KC + KB^{2}-KB.KH$ =$\ KA^{2}-2KA.KC + KB^{2}$ =$KA^{2}-2KA.KC + KC^{2} + BC^{2}$ =$(KA-KC)^{2}+BC^{2} = AC^{2}+ BC^{2} =AB^{2}$ (Không đổi) Vì $(\triangle KHC\sim \triangle KAB\Rightarrow KA.KC = KH.KB)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi legialoi: 31-03-2012 - 21:56





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh