Chủ đề này có 2 trả lời

[Dieu Ha]

Cho đường tròn (O). Hai đường kính AB và MK không vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy E,F sao cho OE = OF. Vẽ dây MC đi qua E, dây MD đi qua F. Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại S.
Chứng minh SK là tiếp tuyến của (O)

[hoclamtoan]

*OE = OF $\Rightarrow$ KEMF là hbh.
Kẻ $KI\perp AB tại I\Rightarrow KDIE,CKIF$ nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{DKI}=\widehat{DEI}=\widehat{OEM}=\overleftarrow{OFK}=\widehat{ICK}$
và $\widehat{DIK}=\widehat{DEK}=\widehat{KFC}=\widehat{KIC}$
$\Rightarrow \Delta KDI\sim \Delta CKI\Rightarrow KI^{2}=DI.CI$ (1)
và $\widehat{DIK}=\widehat{KIC}\Rightarrow \widehat{DIS}=\widehat{CIO}$ (2)
*Từ D kẻ đường song song với AB và cắt CO tại J $\Rightarrow \widehat{CJD}=\widehat{COI}$
$\widehat{DCJ}=\frac{1}{2}sdDC'$
$\widehat{CIO}=\frac{1}{2}sd(CB+AD')$
mà CB + AD' = AC' + AD = DC' $\Rightarrow \widehat{DCJ}=\widehat{CIO}\Rightarrow \Delta CJD\sim \Delta IOC$
$\Rightarrow \widehat{CDJ}=\widehat{ICO}=\widehat{DSI}$ (3)
(2) (3) $\Rightarrow \Delta SDI\sim \Delta COI\Rightarrow SI.IO=DI.CI$ (4)
Từ (1)(4) $\Rightarrow SI.IO=KI^{2}\Rightarrow \Delta SKI\sim \Delta KOI\Rightarrow \widehat{KSI}=\widehat{OKI}$
$\Rightarrow \widehat{SKI}+\widehat{OKI}=\widehat{SKI}+\widehat{KSI}=90^{o}\Rightarrow$ đpcm.

[perfectstrong]

Lời giải 2:
Vẽ $ON \perp CD \Rightarrow$ N là trung điểm CD.
MEKF là hình bình hành $\Rightarrow ME \parallel KF \Rightarrow \angle MKF=\angle KME=\angle KDC$
Kết hợp với $\angle KCD=\angle KMF \Rightarrow \vartriangle DCK \sim \vartriangle KMF(g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{CD}{CK}=\dfrac{MK}{MF} \Rightarrow \dfrac{2CN}{CK}=\dfrac{2MO}{MF} \Rightarrow \dfrac{CN}{CK}=\dfrac{MO}{MF}$
Lại có $\angle KCN=\angle OMF \Rightarrow \vartriangle KCN \sim \vartriangle FOM(c.g.c)$
$\Rightarrow \angle KNC=\angle FOM \Rightarrow 180^o-\angle KNC=180^o-\angle FOM$
$\Rightarrow \angle KNS=\angle KOS \Rightarrow$ KNOS là tgnt
$\Rightarrow \angle SKO=\angle SNO=90^o \Rightarrow Q.E.D$