Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian: 150'

Bài 1: a) Tìm x, y nguyên dương sao cho $6x + 5y + 18 = 2xy$
b) Chứng minh A là số tự nhiên với mọi a thuộc N:
$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$

Bài 2: a) Giải phương trình:
$4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$
b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} y = x^2 \\ z = xy \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z} \end{matrix}\right.$

Bài 3: a) Cho $a = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
b) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh:
$(a+b)^2 + \frac{a+b}{2} \geq 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}$

Bài 4: Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB. Từ 1 điểm C trên đoạn OB, kẻ CN vuông góc với AM tại N. Tia phân giác của góc MAB cắt CN tại I, cắt (O) tại P. Tia MI cắt đường tròn (O) tại Q.
a) Chứng minh P, C, Q thẳng hàng.
b) Khi AM = BC, chứng minh tia MI đi qua trung điểm của AC.

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho $\widehat{EDC} = \widehat{FDB} = 90^o$. Chứng minh rằng: EF // BC.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sakura139: 01-04-2012 - 10:19


#2
thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết

Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian: 150'




b) Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} y = x^2 (1)\\ z = xy (2)\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{z}(3) \end{matrix}\right.$

Đk: x,y,z khác 0
--Từ (2) suy ra $\frac{1}{x}.\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$
--Từ (3) suy ra $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{6}{xy}$
<=> $\frac{y-x}{xy}=\frac{6}{xy}$
<=> y-x=6
<=>$ x^2-x-6$=0 (do $y=x^2$)
<=> * x=3
* x=-2
Suy ra: với x=3 => y=9,z=27 (thỏa Đk)
với x= -2 => y=4,z=-8 (thỏa Đk)

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#3
thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết

Ngày thi: 29/03/2012
Thời gian: 150'


Bài 4: Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB. Từ 1 điểm C trên đoạn OB, kẻ CN vuông góc với AM tại N. Tia phân giác của góc MAB cắt CN tại I, cắt (O) tại P. Tia MI cắt đường tròn (O) tại Q.
a) Chứng minh P, C, Q thẳng hàng.
b) Khi AM = BC, chứng minh tia MI đi qua trung điểm của AC.


Hình vẽ: Hình đã gửi
(đang trong giai đoạn luyện GPS,mọi người thông cảm)
a)chứng minh 3 điểm P,C,Q thẳng hàng,ta cần chứng minh $\widehat{IQC}=\widehat{MQP}$
--Để ý AICQ là tứ giác nội tiếp (chứng minh bằng cung chứa góc),suy ra: $\widehat{IQC}=\widehat{IAC}$(nội tiếp cùng chắn cung IC) (1)
--Mặt khác$ \widehat{MQP}=\widehat{MAP}$ (cùng chắn MP) (2)
---Ta lại có: $\widehat{IAC}=\widehat{MAP}$ (AP là phân giác (3)
Từ (1)(2)(3) => dpcm
b) (buồn ngủ quá,mai làm tiếp...Oáp :icon9: )

Hình vẽ: Hình đã gửi

---Gọi K là giao điểm của MI với AB
--- Dễ dàng chứng minh được: $\Delta AKM $ đồng dạng $\Delta QKB$
=> $\frac{AK}{AM}=\frac{QK}{QB}$ (1)
---Ta có sd cung MP bằng sd cung PB=> QP là phân giác $\widehat{MQP}$ mà theo a),Q,C,P thẳng hàng => QC là phân giác của tam giác AKB
=> $\frac{QK}{QB}=\frac{KC}{BC}$ (2)
Từ (1)và (2) => $\frac{AK}{AM}=\frac{KC}{BC}$
mà AM=BC (giả thiết)=> AK=KC=> K là trung điểm AC => MI đi qua trung điểm AC (dpcm)
p/s: kí hiệu đồng dạng với kí hiệu cung (ví dụ cung AK) trên VMF trên VMF là gì vậy mod

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 01-04-2012 - 10:03

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#4
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 1: a) Tìm x, y nguyên dương sao cho $6x + 3y + 2xy = 18$
b) Chứng minh A là số tự nhiên với mọi a thuộc N:
$A = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5}$

Lời giải. a) $6x+3y+2xy=18$
Ta có $1 \le 6x \le 18 \implies 1 \le x \le 3$
  • $x=3 \implies 3y+6y=0 \implies y=0$, loại.
  • $x=2 \implies 3y+4y=6 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
  • $x=1 \implies 3y+5y=12 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) $$ \begin{aligned} A & = \frac{a^5}{120}+\frac{a^4}{12}+\frac{7a^3}{24}+\frac{5a^2}{12}+\frac{a}{5} \\ & = \frac{a^5+10a^4+35a^3+50a^2+24a}{120} \end{aligned} \in \mathbb{N}$$
$$\iff 120 \mid a^5+10a^4+35a^3+50a^2+24a$$
Phân tích $120=3.2^3.5$. Đặt $P=a^5+10a^4+35a^3+50a^2+24a=a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$.
Đây là tích $5$ số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại ít nhất một số chia hết cho $3,5$ và ít nhất hai số có tích chia hết cho $8$.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#5
sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Lời giải. a) $6x+3y+2xy=18$
Ta có $1 \le 6x \le 18 \implies 1 \le x \le 3$

  • $x=3 \implies 3y+6y=0 \implies y=0$, loại.
  • $x=2 \implies 3y+4y=6 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
  • $x=1 \implies 3y+5y=12 \implies y \not\in \mathbb{N}^*$, loại.
Vậy phương trình vô nghiệm.


Xin lỗi nhầm đề tí: $6x + 5y + 18 = 2xy$
$6x + 5y + 18 = 2xy $
$\Leftrightarrow (6x - 2xy) -15 + 5y = -33 $
$\Leftrightarrow (3-y)(2x -5) = -33 = -1.33=-33.1=-11.3=-3.11$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sakura139: 01-04-2012 - 10:51


#6
sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

Bài 2: a) Giải phương trình:
$4\sqrt{x+1}= x^2 - 5x + 14$


Hôm đi thi làm thế này ko bít đúng ko, mọi người ai có cách ngắn hơn thì post lên lun.
ĐK : $x \geq -1$
$4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14 $
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}=(x+1)^2-7(x+1)+20$
Đặt $x+1 =t$, ta có:
$16t = (t^2 - 7t +20)^2 $
$\Leftrightarrow t^4 - 14t^3+89t^2-269t+400 = 0 $
$\Leftrightarrow (t^4-4t^3)-(10t^3 - 40t)+(49t^2-196t)-(100t-400) = 0 $
$\Leftrightarrow (t-4)(t^3-10t^2+49t-100)=0 $
$\Leftrightarrow (t-4)^2(t^2-6t+25) = 0$
Vì $(t^2-6t+25) > 0 \Rightarrow t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow x = 3 (tmdk)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sakura139: 01-04-2012 - 10:52


#7
ZzBIOSzZ namh0aj

ZzBIOSzZ namh0aj

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
bài 2(mình khác nữa nhưng có lẽ ngắn hơn)
ĐK :$x\geqslant -1$
$x^{2} - 5x + 14 = 4\sqrt{x + 1}$
$\Leftrightarrow x^{2} - 6x + 9 + x + 1 - 4\sqrt{x + 1} + 4 = 0$
$\Leftrightarrow (x - 3)^{2} + (\sqrt{x+1} - 2)^{2} = 0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1} x - 3=0 \\ \sqrt{x+1} - 2=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x=3$(TMĐK)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzBIOSzZ namh0aj: 09-04-2012 - 16:28


#8
Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết

Hôm đi thi làm thế này ko bít đúng ko, mọi người ai có cách ngắn hơn thì post lên lun.
ĐK : $x \geq -1$
$4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14 $
$\Leftrightarrow 4\sqrt{x+1}=(x+1)^2-7(x+1)+20$
Đặt $x+1 =t$, ta có:
$16t = (t^2 - 7t +20)^2 $
$\Leftrightarrow t^4 - 14t^3+89t^2-269t+400 = 0 $
$\Leftrightarrow (t^4-4t^3)-(10t^3 - 40t)+(49t^2-196t)-(100t-400) = 0 $
$\Leftrightarrow (t-4)(t^3-10t^2+49t-100)=0 $
$\Leftrightarrow (t-4)^2(t^2-6t+25) = 0$
Vì $(t^2-6t+25) > 0 \Rightarrow t - 4 = 0 \Rightarrow t = 4 \Rightarrow x = 3 (tmdk)$

Mình giải khác tí nữa.
\[pt \Leftrightarrow ({x^2} - 6x + 9) + (x + 1 - 4\sqrt {x + 1} + 4) = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)^2} + {(\sqrt {x + 1} - 2)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\sqrt {x + 1} - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\]

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#9
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
Mình làm thử bài 3 a/ ( không biết có đúng ko)
Dễ dàng tìm được a là nghiệm cua 2 pt
$4a^{2}-4a-1=0$ và $16a^{4}-24a^{2}+1=0$
$$\Rightarrow a^{4}=\frac{24a^{2}-1}{16}=\frac{24a+6-1}{16}=\frac{24a+5}{16}$$
$$\Rightarrow 16a^{8}=16(\frac{24a+5}{16})^{2}=\frac{576a^{2}+240a+25}{16}$$
$$16a^{8}-51a=\frac{576a^{2}+240a+25-816a}{16}=\frac{576a^{2}-576a+25}{16}==\frac{576a+144-576a+25}{16}=\frac{169}{16}$$
$\Rightarrow \sqrt{16a^{8}-51a}=\sqrt{\frac{169}{16}}=\frac{13}{4}$
3/b BĐT cần CM$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$ \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+b)}{8}}=\frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}$$
Mà $$a+b \geq 2\sqrt{ab} ; \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2}=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$\Rightarrow dpcm$
Dấu ''='' xảy ra khi
$\left\{\begin{matrix}
4(a+b)^{2})=2(a+b)\\
a=b

\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=b=0\\
a=b=\frac{1}{4}
\end{matrix}\right.$

#10
sakura139

sakura139

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết

3/b BĐT cần CM$$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$ \frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b)^{2}(a+b)}{8}}=\frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}$$
Mà $$a+b \geq 2\sqrt{ab} ; \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{a+b\sqrt{a+b}}{\sqrt{2}}\geq \frac{2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{2}=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$\Rightarrow dpcm$


Cách khác ngắn hơn:
$(a+b)^2+\frac{a+b}{2}=(a+b)(a+b+\frac{1}{2})=(a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})$
Áp dụng bđt Cô-si, ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab};$
$a+\frac{1}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}a} = \sqrt{a}; \ b+\frac{1}{4}\geq \sqrt{b}$
$\Rightarrow (a+b)(a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4})\geq 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = 2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a} (dpcm)$

#11
thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
Có được sử dụng máy tính Casio trong phòng thi không bạn???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 01-04-2012 - 15:27

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#12
thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
Bài Hình cuối
-Hình vẽ:Hình đã gửi
(mình đặt điểm nhầm,có đến 2 điểm H,hình chụp rồi,mọi người thông cảm....)
---Hạ BH (H thuộc CD) vuông góc với CD cắt DH (H thuộc BC) tại I ==> BI // ED và I là trực tâm của tam giác BDC
---Tia CI cắt BD tại G => CG vuông góc với BD mà FD vuông góc với BD => CG // FD hay CI // FD

-- Ta có ED // BI (cmt) => $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AI}$ (1)

CI // FD (cmt) => $\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AI}$ (2)

Từ (1),(2) =>$ \frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ => EF // BC (định Lí Talet Đảo) (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 02-04-2012 - 09:19

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#13
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Anh (chị) thukilop học vẽ hình tại http://diendantoanho...=0 .

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh