Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm Min $P=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:lịch sử toán học

Đã gửi 31-03-2012 - 21:32

∆ABC có $\widehat{C}$ ko nhọn, BC=a, CA=b, AB=c. Tìm GTNN của bt: $P=(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})$.
*trích đề thi chọn hsg lớp 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2007-2008)

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 31-03-2012 - 23:51

Bài này mình thấy cho $a, b, c$ là các cạnh của tam giác thì không ý nghĩa lắm, chỉ là tương đương điều kiện $a, b, c$ $\#$ 0 thôi thì phải .
Áp dụng trực tiếp $AM=GM$ ta có :
$$VT \ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}}.2\sqrt{\dfrac{b}{c}}2\sqrt{\dfrac{c}{a}} = 8$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 01-04-2012 - 00:29

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Liên Hà

Đã gửi 01-04-2012 - 09:21

Bài này mình thấy cho $a, b, c$ là các cạnh của tam giác thì không ý nghĩa lắm, chỉ là tương đương điều kiện $a, b, c$ $\#$ 0 thôi thì phải .
Áp dụng trực tiếp $AM=GM$ ta có :
$$VT \ge 2\sqrt{\dfrac{a}{b}}.2\sqrt{\dfrac{b}{c}}2\sqrt{\dfrac{c}{a}} = 8$$

Không đơn giản như vậy đâu bạn.. do tam giác ABC có góc C không nhọn nên ta có $c^{2}\geq a^{2}+b^{2}$
$P= 2 +\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$
$\geq 4+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}$
$= \geq 4+\frac{b}{c}+\frac{c}{2a}+\frac{c}{2a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{2b}+\frac{c}{2b}$
$\geq 4+6\sqrt[6]{\frac{c}{2b}\frac{a}{c}\frac{b}{c}\frac{c}{2b}\frac{c}{2a}\frac{c}{2a}}$
$\geq 4+6\sqrt[6]{\frac{c^{2}}{2^{4}ab}}$
$\geq 4+6\sqrt[6]{\frac{a^{2}+b^{2}}{2^{4}ab}}$
$\geq 4+\frac{6}{\sqrt{2}}$$=4+3\sqrt{2}$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ tam giác ABC vuông cân tại C
${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#4 trungdung97

trungdung97

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên ĐH Vinh

Đã gửi 20-06-2012 - 16:21

mình xin đưa ra bài toán khó hơn nhiều Cho tam giác ABC không nhọn có BC=a,CA=b,AB=c.Tìm GTNN của biểu thức A= a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung97: 20-06-2012 - 16:21


#5 kainguyen

kainguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-06-2012 - 20:34

mình xin đưa ra bài toán khó hơn nhiều Cho tam giác ABC không nhọn có BC=a,CA=b,AB=c.Tìm GTNN của biểu thức A= a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)



Do tam giác ABC không nhọn nên sẽ có 1 góc lớn hơn hoặc bằng 90 độ, do đó cạnh đối diện với góc đó là lớn nhất. Không giảm tính tổng quát, giả sử đó là AB thì ta có: $c^2 \ge a^2+b^2$.

Từ $c^2 \ge a^2+b^2 \Rightarrow (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2\leq 1$.

Và ta biến đổi:

$A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}+1}+\frac{\frac{b}{c}}{1+\frac{a}{c}}+\frac{1}{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}}$

Đặt: $\left\{\begin{matrix}
\frac{a}{c}=x\\
\frac{b}{c}=y
\end{matrix}\right.$

Ta được: $x^2+y^2 \le 1$ và:

$A=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}$

Theo Cauchy - Schwarz và AM - GM, ta có:

$A=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+2xy}+\frac{1}{x+y}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y+\frac{(x+y)^2}{2}}+\frac{1}{x+y}$

Đặt $x+y=t$ ta suy ra $0<t\leq \sqrt{2}$

Xét hàm số $f(t)=\frac{2t}{t+2}+\frac{1}{t}$

Ta có $f'(t) < 0$ với $0<t\leq \sqrt{2}$ nên hàm số này nghịch biến trên $0<t\leq \sqrt{2}$

Từ đây suy ra: $f(t)\geq f(\sqrt{2})=\frac{-4+5\sqrt{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác đã cho vuông cân tại C.

Vậy $MinA=\frac{-4+5\sqrt{2}}{2}$ khi tam giác đã cho là tam giác vuông cân.

#6 Albert einstein vip

Albert einstein vip

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 118 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Trường THPT chuyên đại học vinh ^^

Đã gửi 23-06-2012 - 14:52

Áp dụng BĐT cô si ta có :
$1+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}}$
$1+\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{\frac{b}{c}}$
$1+\frac{c}{a}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a}}$
$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$
Vật Min P=8 khi $\Leftrightarrow a= b= c$
Làm chủ tư duy thay đổi vận mệnh


#7 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 13-04-2015 - 12:10

Áp dụng BĐT cô si ta có :
$1+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}}$
$1+\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{\frac{b}{c}}$
$1+\frac{c}{a}\geq 2\sqrt{\frac{c}{a}}$
$\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$
Vật Min P=8 khi $\Leftrightarrow a= b= c$

Tam giác ABC có $\widehat{C}$ không nhọn


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh