Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Những bài toán chưa có lời giải


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-04-2012 - 10:54

Bài 1:Elym4ever
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq (a-b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a-b+c) $$
BÀi 2:a1tranpu
Chứng minh bất dẳng thúc này đúng với mọi tam giác ABC:
$$2\sqrt{2}\left ( \sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin \dfrac{C}{2} \right )> \cos \dfrac{A-B}{\sqrt{15}}+\cos \dfrac{B-C}{\sqrt{15}}+\cos \dfrac{C-A}{\sqrt{15}}$$
Bài 3:Hà Quốc Đạt
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh:
$$\sqrt{\dfrac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{c+a}{b+ca}}\geq 3$$
Bài 4:E.Galois
Tìm GTLN của biểu thức
\[ f(x;y) =\dfrac{{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{\left({a-x}\right)^{2}+y^{2}}}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}} \]
trong đó a, b là các hằng số còn x, y là các ẩn
Bài 5: harrypotter10a1
cho tam giác ABC thỏa mãn $max{A,B,C}\ge\dfrac{pi}{2}$
Tìm min: $Sin^3 A + Sin^2 B + Sin C$
Bài 6:Darktemplar
Cho $x,y$ thỏa $0 \le xy <1$.Chứng minh rằng:
$$\left(\dfrac{2x}{1+x^2} \right)^2+\left(\dfrac{2y}{1+y^2} \right)^2 \le \dfrac{1}{1-xy}$$
Bài 7: taminhhoang10a1
Cho $ x \ge 1$ và $ 0 \le y \le 1$
CMR: $$ \sqrt {x^2 + 1} + \sqrt {y^2 + 1} - \sqrt 2 x - \sqrt 2 y \le \sqrt {x^2 y^2 + 1} - \sqrt 2 xy$$
Bài 8:PRONOOBCHICKENHANDSOME
Cho 1 đa thức : $f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}$ thỏa mãn điều kiện $|f(x)| \le 1 \forall x \in [-1:1] $
CMR : với đa thức $f'(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^{i}$
Thì ta có : $ |f'(x)| \le 2^{n-1} \forall x \in [-1:1]$
Bài 9:HD nhat
Tìm giá trị nhỏ nhất của $ \dfrac{(2-t^2)^2}{t^2+1} $ với $ |t| \geq 2 $
Bài 10: HD nhat
Cho $a_1 < a_2 < a_3<...< a_n$. Chứng minh rằng:

$a_1 a_2^4+ a_2 a_3^4+... a_n.a_1^4 \geq a_2a_1^4+ a_3a_2^4 +...+ a_1 a_n^4$

Bài 11:Sang Ri
Cho $a,b,c,d \in [0,1]$ CMR: $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) + a + b + c + d \ge 1$
Bài 12: Cho $a,b,c$ không âm và $a+b+c=1$. CMR
* $a^3 + b^3 + c^3 + 6abc \ge \dfrac{1}{4}$
** $7(ab + bc + ca) \le 2 + 9abc$
Bài 13:Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $x + y + z = 1$. CMR : $5(x^2 + y^2 + z^2) \le 6(x^3 + y^3 + z^3) +1$
Bài 14:uongquyet1997
cho $a+b+c+d=7$ và $a^2 + b^2 + c^2 + d^2=13$.Chứng minh rằng $1 \le a,b,c,d \le \dfrac{5}{2}$.
Bài 15 :NGOCTIEN_A1_DQH
Cho $ a,b,c,d \in(\dfrac{1}{4};1) $ .tìm GTNN, của:
$ P= log_a(b-\dfrac{1}{4})+log_b(c-\dfrac{1}{4})+log_c(d-\dfrac{1}{4})+log_d(a-\dfrac{1}{4}) $
Bài 16:stuart clark
Nếu$x^4+y^4=32,x,y>1$. TÌm GTLN của $x(xy-1)$
Bài 17: Dark templar
Cho $x,y,z \ge 0$ thỏa mãn:$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$.Chứng minh rằng:
$(a):\sum x^2 \ge 4\sum_{cyc}x^2y^2 \ge 6xyz$
$(b):\sum_{cyc}x^2y^2 \ge 2xyz(x^2+y^2+z^2)$
Bài 18:E.Galois
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

$ f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{27} {\left[ {C_{27}^k \left( {\dfrac{x}{{100}}} \right)^k \left( {\dfrac{{100 - x}}{{100}}} \right)^{27 - k} .\left( {80k - 23x} \right)} \right]} $

trên đoạn $[0;100]$
Bài 19:luannk
Cho các số thực dương x,y. Chứng minh rằng:
$ e^{\dfrac{y}{2x+y}}<\sqrt{\dfrac{x+y}{x}}$
Bài 20: shamanking
Cho x,y,z là các số dương, chứng minh rằng:
$ \dfrac{2xy}{(x+z)(y+z)}+ \dfrac{2yz}{(x+y)(x+z)}+ \dfrac{3xz}{(x+y)(y+z)} \geq \dfrac{5}{3}$
Bài 21:hxthanh
Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$
Tìm $Min\{P\};\;\; Max\{P\}$ với
$P=\left(\dfrac{1}{a^2b}-2\right)\left(\dfrac{1}{b^2c}-2\right)\left(\dfrac{1}{c^2a}-2\right)$
Bài 22:Bác Ba Phi
Cho $n\in N; n\geq 2$. CMR:
$\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-4}+...+\sqrt{n^2-(n-1)^2} < \dfrac{\pi n^2}{4}$
Bài 23: Lê Việt Hải
Tìm hằng số $k$ lớn nhất, sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ca=3$:
$a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3+k $
Bài 24:Lê Việt Hải
Với hằng số $k$ cho trước, cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa $ab+bc+ca=3$, tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=a+b+c+kabc$
Bài 25:linhan
tìm GTLN và GTNN của
a) $x^3 + y^3 -3xy với $0 \leqslant x \leqslant 2$ và $- 1 \leqslant y \leqslant 2$
b) $sin x + sin y + sin (x + y) với $0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi }{2}$ và $0 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi }{2}$
Bài 26:abstract
Cho tam giac $ABC$ va cac ki hieu $p,R,r$.CMR:
$4R< \dfrac{p^2+r^2}{2p-r-3}$
Bài 27: Messi_ndt
Cho $ a,b,c $ thõa mãn:$ abc+mpb+mnc+npc=k.$ với k,m,n,p là số cho trước.
Tìm $ Max: S=abc(a^2+m^2)(b^2+n^2)(c^2+p^2) $
Bài 28:Messi_ndt
Cho $ a,b,c >0;a+b+c=3;\dfrac{m}{m+1+a}+\dfrac{n}{n+1+b} \leq \dfrac{p}{p+1+c} .$và $ m,n,p=const \in R^+ $
Tìm $ Min P=abc $
Bài 29: Messi_ndt
A,B,C là 3 góc tam giác ABC đo = radian và $ 2A+3B= \pi $
CMR: $ a+b< \dfrac{5}{4} .c $
Bài 30: huuthobacninh
cho x,y,z thỏa :x+y+z=pi . TIm GTLN , GTNN cua : $T=7(sinx+siny)+3sinz$
Bài 31: abstract
Cho $0<x,u,z,t,u< \dfrac{1}{4}$ va x+y+z+t+u =1. Tim max
$ \sum\limits_{sym} \dfrac{x-4 x^{2} }{20 x^{2}-8x+1 } $

___Tobe continue________
Lưu ý: Các bạn post bài giải vào các link không giải vào topic này. Cám ơn!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 03-05-2013 - 22:42

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 01-04-2012 - 11:21

Những bài toán chưa có lời giải 2006-2007
Bài 1. V.Q.B.C
Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng
$ \sum\dfrac{x^2}{y} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $
diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=23174
Bài 2. vickykjt
cho dãy số $ \ a_{1},a_{2},.....a_{{n}} $ thỏa mãn

$ a_{1}=0 ; |a_{k+1}| = |a_{k}+1| $

tìm min của $ A = \dfrac{a_{1}+...a_{{n}}}{n} $
http://diendantoanho...showtopic=23447
Bài 3. Nia_T2
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:
y= $ {sinx}^{5} +\sqrt{3}cosx $
http://diendantoanho...showtopic=29194
Bài 4. vo thanh van

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa:
$\left\{\begin{array}{1} xyz \leq 2 \\ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} 0 x+y+z = 4$ . CMR: $\dfrac{x^2y}{\sqrt{y+2z^2}}+\dfrac{y^2z}{\sqrt{z+2x^2}}+\dfrac{z^2x}{\sqrt{x+2y^2}} \ge \dfrac{4+3\sqrt{3}}{3}$
http://diendantoanho...showtopic=31261
Bài 7.Xvodanhx
Chứng minh rằng :
$\ log_{2} 3 $ > $\ log_{5} 8 $
http://diendantoanho...showtopic=31016
Bài 8.Louis Latin and Vicky
Cho $x, y, z,k$ là các số thực dương.Tìm hằng số k tốt nhất để :
$\sum\sqrt[k]{\dfrac{x}{\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}}}\geq \dfrac{3}{\sqrt[2k]{3}}$
Bài 9.tqnst
Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn BĐT :
$1+ \int\limits_{0}^{x} f(x)dx $ $\geq$$ [f(x)]^2$ với mọi $x$ thuộc đoạn$ [0;1]$
http://diendantoanho...showtopic=33377
Bài 10. chien than
Dãy $(a_n)$ tuần hoàn chu kì $T=100$ thỏa mãn
$a_1+...+a_{2k} \leq 0$ với mọi $k \geq 1$
$a_1+...+a_{2k+1} \geq 0$ với mọi$ k \geq 0$
Đặt $S_n=\sum^{n}_{i=1} a_i$
Hãy chứng minh
a)$S_{100n}=n.S_{100}$
b)$|a_{99}| \geq |a_{100}|$
http://diendantoanho...showtopic=34318
Bài 11. chien than

$a;b;c>0a + b + c = 1$
Chứng minh:
$2 + 8\left((a - b)(b - c)(c - a)\right)^2 + 27(ab + bc + ca)\left(a^2(1 - a)^2 + b^2(1 - b)^2 + c^2(1 - c)^2\right)\geq 18(a^3 + b^3 + c^3)(ab + bc + ca)$
http://diendantoanho...showtopic=34557
Bài 12. chienadriano
Cho $x^a + y^b + z^c = k$, $a, b, c, k$ là hằng số.
Tìm max của :$$x^my^nz^p$$
http://diendantoanho...showtopic=34736
Bài 13.NguyenLePhuong_PT_DN
Cho f(x)= cos2x + 2007 cos(x+2008)
Đặt A = min f(x), B = max f(x) .
CMR: $A^{2}+ B^{2} \geq 2$
http://diendantoanho...showtopic=34942
Bài 14.Khanh_92
Cho $a,b,c\in[\dfrac{1}{2},2]$ thỏa mãn $a+b+c=3$
Tìm $Max$ của $A=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^3}$
http://diendantoanho...showtopic=36105
Bài 15.jiji
Chứng minh rằng với mọi $a, b, c$
$$(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1)( \dfrac{1}{1+a^2} + \dfrac{1}{1+b^2}+ \dfrac{1}{1+c^2}) \geq3 $$
http://diendantoanho...showtopic=36129
Bài 16.jiji
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn :$ab + bc + ca = 1> Tìm min :
$$(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+1)( \dfrac{1}{1+a^2} + \dfrac{1}{1+b^2}+ \dfrac{1}{1+c^2}) $$
http://diendantoanho...showtopic=36130
Bài 17.kiwi_lovely278
Cho a,b t/m: $a^{2} +b^{2}=1$
Tìm max:$a^{2007}+\sqrt[3]b$
http://diendantoanho...showtopic=36847
Năm 2008.
Bài 1.thienlongdo_22
cho x,y,z,t là các số dương thỏa x+y+z+t=4.CMR

$(1+3x)(1+3y)(1+3z)(1+3t){\le}125+131xyzt$

mong mọi người đừng làm cách dồn biến nha
http://diendantoanho...showtopic=37072
Bài 2.
1. Tìm min $D= ax^2 + by^2 + cz^2$ với $xy + yz + xz = 1$
2. Tìm max $ a\sqrt{xy} + b\sqrt{yz} + c\sqrt{zx} $ với $x + y + z = 1$ a,b,c là các số dương cho trước
http://diendantoanho...showtopic=37271
Bài 3. Minh Trang
$a,b,c>0$ Chứng minh :
$$3\sqrt[9]{\dfrac{9a(a+b)}{2(a+b+c)^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{6bc}{(a+b)(a+b+c)}}\leq4$$

http://diendantoanho...showtopic=37411
Bài 4.tuk19t (đã có lời giải)

1) tam giác ABC; CM:
$\sin A^{\sin B} + \sin B^{\sin C} + \sin C^{\sin A} > 1,19$
2) tam giác ABC không có góc tù; CM:
$\tan \dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{C}{2} + \tan \dfrac{A}{2}\tan \dfrac{B}{2}\tan \dfrac{C}{2} \ge \dfrac{{10\sqrt 3 }}{9}$
http://diendantoanho...showtopic=38051
Còn tiếp.........


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 28-07-2013 - 11:49

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 01-04-2012 - 17:15

Tiếp tục với các bài toán chưa giải quyết :
Thực sự, nhiều bài toán không dừng lại ở mức độ THPT nữa mà đã mang tầm cỡ cao hơn. Mọi người tích cực nhé :icon6:

Bài 1.
Cho $a, b, c > 0, abc =1 $ Chứng minh rằng :
$$\sum{\dfrac{1}{a}} + \dfrac{6}{a + b + c} \ge 5$$
Bài 2.
Cho $a, b, c > 0$ . Chứng minh rằng :
$$\sum{\dfrac{1}{4a}} + \sum{\dfrac{1}{a + b}} \ge \sum{\dfrac{3}{3a + b}}$$
Bài 3.
Cho $a, b, c \ge 0$ . Chứng minh bất đẳng thức :
$$a\sqrt{a^2 + 2bc} + b\sqrt{b^2+2ac} + c\sqrt{c^2+2ab} \ge\sqrt{3}(ab + bc + ca)$$
Bài 4.
Chứng minh :
$$n! > \left (\dfrac{n}{e}\right )^n$$
Bài 5.
(Có thể làm ở đây, vì topic đã khóa :excl: )
Cho $a, b, c \in [1,2]$. Chứng minnh rằng :
$$(3a + 3b + c)\left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right ) \le \dfrac{45}{2}$$
THTT một số nào đó >:)
Bài 6.
Trong tam giác, chứng minh :
$$\dfrac{h_a}{l_a} + \dfrac{h_b}{l_b} + \dfrac{h_c}{l_c} \ge \dfrac{6r}{R}$$
Bài 7.
Chứng minh với mọi $a, b,c$ khác nhau đôi một, ta có
$$\left |\dfrac{a + b}{a - b}\right | + \left |\dfrac{b + c}{b - c}\right | + \left |\dfrac{c + a}{c - a}\right | \ge 2$$
Bài 8.
Cho A, B là các góc của một tam giác.
Tìm GTLN của :
$$\dfrac{64\tan^6{B} + 4\sqrt[4]{2^{1 +\tan^2{A}}}}{\tan^2{A} + 12\sin{B}}$$
Bài 9.
Với $x, y, z ?> 0$ bất đẳng thức sau đúng hay ngược dấu :
$\dfrac{x}{\sqrt{x+y}}+\dfrac{y}{\sqrt{y+z}}+\dfrac{z}{\sqrt{z+x}}\geq\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{2}}$
Bài 10.
Cho $a, b, c > 0, ab + bc + ca \ge 3> Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{\sqrt{a} + b} + \dfrac{b}{\sqrt{b} + c} + \dfrac{c}{\sqrt{c} + a} \ge \dfrac{3}{\sqrt{2}}$$
Bài 11.
Khẳng định hoặc phủ định các bất đẳng thức sau :
a,$\sqrt[3]{a^2+b^2-ab}+\sqrt[3]{b^2+c^2-bc}+\sqrt[3]{c^2+a^2-ca} \geq 2\sqrt[3]{(a^2+b^2+c^2)}$
b,$\dfrac{1}{{(b + a)\sqrt {b^2 + a^2 } }} + \dfrac{1}{{(b + c)\sqrt {b^2 + c^2 } }} + \dfrac{1}{{(c + a)\sqrt {c^2 + a^2 } }} \ge \dfrac{{9\sqrt {a^2 + b^2 + c^2 } }}{{2\sqrt 6 (a^3 + b^3 + c^3 )}}$
Bài 12.

Cho tam giác ABC có $cot\dfrac{A}{2}+2cot\dfrac{B}{2}=23cot\dfrac{C}{2}$
Tìm $\max C$
Bài 13.
Cho $x + y + z = 0$ . Tìm GTLN của :
$$F = \sin^6{x} + \sin^8{y} + \sin^14{z}$$
Bài 14.
Cho $x, y, z > 0, \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = 1$
Chứng minh :
$$\dfrac{x^2 + yz}{\sqrt{2x^2(y + z)}} + \dfrac{y^2 + zx}{\sqrt{2y^2(z + x)}} + \dfrac{z^2 + xy}{\sqrt{2z^2(x + y)}} \ge 1$$
Bài 15.
Cho hình lập phương $ABCD. A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Trên ba cạnh $A_1 B_1 ,BC,DD_1$
Lần lượt lấy ba điểm M, N, P.
Chứng minh: $\dfrac{1}{6} \leq V_{A.MNP}\leq\dfrac{1}{3}$
Bài 16.
Cho $x, y, z > 0$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{(x^2 + 1)(y + z)}{x^2 + y + z} + \dfrac{(y^2 + 1)(z + x)}{x + y^2 + z} + \dfrac{(z^2 + 1)(x + y)}{x + y + z^2} \le 4$$
Bài 17.
Cho $x, y, z > 0$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{7x^2 + yz}{xy + z^2} + \dfrac{7y^2 + zx}{yz + x^2} + \dfrac{7z^2 + xy}{xz + y^2} \ge 12$$
Bài 18.
Chứng minh với mọi $a,b,c,d \in R$ và $a+b+c+d=0$ thì:
$(ab + bc + cd + da + bd + ac)^2 + 12 \geq 6(abc + abd + bcd + dca)$
Bài 19.
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + 2b}} + \dfrac{c}{\sqrt{b^2 + 2c}} + \dfrac{a}{\sqrt{c^2 + 2a}} \ge \dfrac{3}{\sqrt{7}}$$
Bài 20.
Cho $a, b, c > 0, ab + bc + ca = 3abc$. Chứng minh :
$$\dfrac{a^2 + b}{a + 2b^3} + \dfrac{b^2 + c}{b + 2c^3} + \dfrac{c^2 + a}{c + 2a^3} \ge 2$$
Bài 21.
Cho $\left\{\begin{array}{1}a^3 + b^4 \le 4 \\3a^3 + b^2 \le 6 \end{array}\right>$
Tìm GTLN của :$P = 9a + 4b$.
Bài 22.
Giả sử $a, b, c$ là những số thực dương thỏa mãn :$a + b + c = 3$. Chứng minh rằng :$$a^{a + c}b^{b + a}c^{c + b} \le 1$$
Bài 23.
1. Cho $a, b, c, d$ dương.
CM: $\dfrac{b(a+c)}{c(a+b} + \dfrac{c(b+d)}{d(b+c)} + \dfrac{d(c+a)}{a(c+d)} + \dfrac{a(d+b)}{b(d+a)} \geq 4$
Bài 24.
2. Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 thỏa: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2}$
CM: $\dfrac{1}{12} \leq \dfrac{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a}{(a+b+c)^{3}} \leq \dfrac{5}{36}$
Bài 25.
Cho $\Delta ABC$. Tìm GTNN của:
$P= (1 + (cosA)^{2} )(1 + (cosB)^{2})(1 + (cosC)^{2})$
Bài 26.
Bài 1:Cho $ x,y,z>0$ và $(x+y+z)^2=1-(xy+xz+yz) $ Chứng minh rằng:
$\dfrac{(x+y)^4}{(z-x)(z-y)}+\dfrac{(x+z)^4}{(y-x)(y-z)}+\dfrac{(y+z)^4}{(x-y)(x-z)}\ge 2 $
Bài 27.
Cho tam giác ABC a,b,c độ dài 3 cạnh $m_a ,m_b ,m_c $ là độ dài 3 trung tuyến .Chứng minh rằng:
$ \dfrac{a^2+b^2}{m_c}+\dfrac{b^2+c^2}{m_a}+\dfrac{c^2+a^2}{m_b}\ge\dfrac{4}{\sqrt[]{3}}(a+b+c)$
Bài 28.
cho ∆ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, có trọng tâm G. G nằm trong (I). Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của ∆ABC. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
P = (a² + b² + c²) / (ab + bc + ca)

Bài 29.
Với $x \in (0 , \dfrac{\pi}{2})$ . Chứng minh :
$$\left (\dfrac{\sin{x}}{x}\right )^3 > \cos{x}$$
Bài 30.
Cho $0 0, abc = 1$ . Chứng minh :
$$(a + b + c)^2 + 2(ab + bc + ca)^2 + 6 \ge 2(a + b + c)(ab + bc + ca) + 2(a + b + c) + 3(ab + bc + ca)$$
Bài 32.
Cho phương trình $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ có 3 nghiệm dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{c}{\sqrt{b^2 - 2ac}} \le \dfrac{\sqrt{b^2 - 2b}}{3}$$
Bài 33. (Bài này nằm trong "những bài toán chưa giải quyết của olympic)
$a,b,c>0$. Cm
$ \dfrac{b+c}{2a^2+bc} + \dfrac{a+c}{2 b^2+ca } + \dfrac{a+b}{2c^2+ab } \geq \dfrac{6}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 02-04-2012 - 08:37

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#4 Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality , Functional equations ,
    Polynomial , Naruto

Đã gửi 10-07-2015 - 23:05

Bài 3: Hà Quốc Đạt

áp dụng bđt AM-GM, ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{\prod (a+b)}{\prod(c+ab) }}$

dễ thấy:

$\left ( a+bc \right )\left (c+ab \right )\leq \left [ \frac{(a+c)(b+1)}{2} \right ]^{3}$

tương tự

 $\Rightarrow \prod (a+bc)\leq \frac{\prod (a+b).\prod (a+1)}{8}\leq \frac{\prod (a+b).(\frac{a+b+c+3}{3})^{3}}{8}=\prod (a+b)$

$\Rightarrow \frac{\prod (a+b)}{\prod (c+ba)}\geq 1$

=>ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Senju Hashirama: 10-07-2015 - 23:10


#5 Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
  • Sở thích:Toán học

Đã gửi 19-11-2015 - 11:23

Tiếp tục với các bài toán chưa giải quyết :
Thực sự, nhiều bài toán không dừng lại ở mức độ THPT nữa mà đã mang tầm cỡ cao hơn. Mọi người tích cực nhé :icon6:

Bài 1.
Cho $a, b, c > 0, abc =1 $ Chứng minh rằng :
$$\sum{\dfrac{1}{a}} + \dfrac{6}{a + b + c} \ge 5$$

Bài 1:

Không mất tính tổng quát. Giả sử $a\geq b\geq c$. Đặt $t=\sqrt{bc}\Rightarrow t\leq 1$

Xét $\left\{\begin{matrix} f\left ( a,b,c \right )=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{6}{a+b+c} & \\ f\left ( a,t,t \right )=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{a+2\sqrt{bc}} &\end{matrix}\right.$

$$\begin{aligned} f\left ( a,b,c \right )-f\left ( a,t,t \right )&=\left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^2\frac{\left ( a+b+c \right )\left ( a+2\sqrt{bc} \right )-6\sqrt{bc}}{\left ( a+2\sqrt{bc} \right )\left ( a+b+c \right )} \\ & \geq \left ( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right )^2.\frac{3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{abc}-6}{\left ( a+b+c \right )\left ( a+2\sqrt{bc} \right )}\\& =\frac{3\left (\sqrt{b}-\sqrt{c}  \right )^2}{\left ( a+b+c \right )\left ( a+2\sqrt{bc} \right )}\geq 0 \end{aligned}$$
$$\Rightarrow f\left ( a,b,c \right )\geq f\left ( a,t,t \right )$$
Xét $f\left ( a,t,t \right )=\frac{1}{a}+\frac{2}{t}+\frac{6}{a+2t}=t^2+\frac{2}{t}+\frac{6t^2}{2t^3+1}=g\left ( t \right )$ với $t\in \left ( 0;1 \right ]$
$$g'\left ( t \right )=\frac{2\left ( t-1 \right )\left ( t^2+t+1 \right )\left ( 4t^6-2t^3+1 \right )}{t^2\left ( 4t^6+4t^3+1 \right )}=0\Leftrightarrow t=1$$
Lập bảng biến thiên ta được $VT=f\left ( a,b,c \right )\geq f\left ( a,t,t \right )=g\left ( t \right )\geq g\left ( 1 \right )=5$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 19-11-2015 - 11:56


#6 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 03-01-2018 - 20:57

Cách giải như sau:

Ta có:

$f\left ( 0 \right )= 1+ k\cos \alpha \leq M$

$f\left ( \pi \right )= 1- k\cos \alpha \leq M$

$\Rightarrow f\left ( 0 \right )+ f\left ( x \right )= 2\leq 2M \Rightarrow M^{2}\geq 1$

Mặt khác:

$f\left ( \frac{\pi }{2} \right )= -1- k\sin \alpha \geq m$

$f\left ( \frac{-\pi }{2} \right )= -1+ k\sin \alpha \geq m$

Suy ra:

$f\left ( \frac{\pi }{2} \right )+ f\left ( \frac{-\pi }{2} \right )= -2\geq 2m \Leftrightarrow m^{2}\geq 1$

Suy ra đpcm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh