Đến nội dung

Hình ảnh

$$\frac{\sum a^5 -\left(\sum a \right)^5}{\sum a^3 -\left(\sum a \right)^3} \ge ...$$

* * * * * 2 Bình chọn VMF

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài toán: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn:$(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^5+b^5+c^5 -(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3 -(a+b+c)^3} \ge \frac{10}{9}(a+b+c)^2$$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài toán: Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn:$(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^5+b^5+c^5 -(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3 -(a+b+c)^3} \ge \frac{10}{9}(a+b+c)^2$$.

Ngồi phân tích thành nhân tử bài này mệt phết Hình đã gửi

Để ý rằng $$a^5+b^5+c^5=(a+b+c)^5-5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)$$
$$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)$$
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành

$$\frac{a^5+b^5+c^5-(a+b+c)^5}{a^3+b^3+c^3-(a+b+c)^3}=\frac{5}{3}(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)$$
Ta cần chứng minh $$\frac{5}{3}(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)\geq \frac{10}{9}(a+b+c)^2$$
Hay $$3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)\ge 2(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$$
BĐT cuối luôn đúng do đó ta có diều phải chứng minh $\square$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: VMF

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh