Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f:_{n \to f(n)}^{\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*}}$ thỏa mãn:
$$f(f(m)+f(n))=m+n,\forall m,n \in \mathbb{N^*}$$
#1
Đã gửi 01-04-2012 - 20:46
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
- Giang1994, Zaraki, Didier và 2 người khác yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#2
Đã gửi 03-04-2012 - 15:04
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
+,Dễ thấy f đơn ánh và với mọi $n\ge 2$ thì tồn tại s để $f(s)=n$
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 03-04-2012 - 15:06
- NguyThang khtn, Giang1994, dark templar và 2 người khác yêu thích
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#3
Đã gửi 29-07-2012 - 09:31
Crystal
-
- Hiệp sỹ
-
- 5534 Bài viết
ANGRY BIRDS
Xem cách này.
giả sử tồn tại hàm số $f(x)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dễ thấy $f$ đơn ánh.
Với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có: \[f\left( {f\left( n \right) + f\left( n \right)} \right) = n + n = 2n = \left( {n - 1} \right) + \left( {n + 1} \right) = f\left( {f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right)} \right)\]
Suy ra: \[f\left( n \right) + f\left( n \right) = f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right) \Rightarrow f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right) = f\left( n \right) - f\left( {n - 1} \right)\]
Do đó, $f$ là hàm tuyến tính, hay $f$ có dạng: $f\left( n \right) = an + b$
Thay vào phương trình ban đầu, ta được:
\[a\left( {\left( {an + b} \right) + \left( {am + b} \right)} \right) + b = n + m \Leftrightarrow {a^2}\left( {n + m} \right) + \left( {2a + 1} \right)b = n + m\]
Đống nhất hệ số, ta được:
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
\left( {2a + 1} \right)b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =\pm 1\\
b = 0
\end{array} \right.\]
Mặt khác: $f:\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*} \Rightarrow a = 1$.
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( n \right) = n,\,\,\forall n \in \mathbb{N^*}$
giả sử tồn tại hàm số $f(x)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dễ thấy $f$ đơn ánh.
Với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có: \[f\left( {f\left( n \right) + f\left( n \right)} \right) = n + n = 2n = \left( {n - 1} \right) + \left( {n + 1} \right) = f\left( {f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right)} \right)\]
Suy ra: \[f\left( n \right) + f\left( n \right) = f\left( {n - 1} \right) + f\left( {n + 1} \right) \Rightarrow f\left( {n + 1} \right) - f\left( n \right) = f\left( n \right) - f\left( {n - 1} \right)\]
Do đó, $f$ là hàm tuyến tính, hay $f$ có dạng: $f\left( n \right) = an + b$
Thay vào phương trình ban đầu, ta được:
\[a\left( {\left( {an + b} \right) + \left( {am + b} \right)} \right) + b = n + m \Leftrightarrow {a^2}\left( {n + m} \right) + \left( {2a + 1} \right)b = n + m\]
Đống nhất hệ số, ta được:
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 1\\
\left( {2a + 1} \right)b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a =\pm 1\\
b = 0
\end{array} \right.\]
Mặt khác: $f:\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*} \Rightarrow a = 1$.
Vậy hàm số cần tìm là $f\left( n \right) = n,\,\,\forall n \in \mathbb{N^*}$
- dark templar, perfectstrong, minhtuyb và 3 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 25-08-2014 - 16:03
pdtienArsFC
-
- Thành viên
-
- 133 Bài viết
Trung sĩ
+,Dễ thấy f đơn ánh và với mọi $n\ge 2$ thì tồn tại s để $f(s)=n$
+,thay (m+1,n-1) vào ta có :$f(m+1)-f(m)=f(n)-f(n-1)$ nên suy ra $f(m+1)-f(m)=f(2)-f(1)$
dễ thấy f(2)>f(1) nếu ko f(n)<f(1) (vô lý)
suy ra f(m+1)>f(m). xét tiếp số s mà f(s)=2. ta thấy nếu $s\ge 3$ suy ra f(2)<2 hay f(1)<1 loại nên ta có 2 TH
+,f(2)=2 suy ra f(n)=n
+,f(1)=2 suy ra thay (1,1) vào đề bài ta có f(2f(1))=2=f(1) hay f(1)=1/2, loại
suy ra f(n)=n
Tại sao f(n)<f(1) lại vô lý ạ???
#7
Đã gửi 25-08-2014 - 19:42
phamxuanvinh08101997
-
- Thành viên
-
- 141 Bài viết
Trung sĩ
Vô lý, Xét hàm $f(n)=\frac{1}{n}$, n>1 nhưng f(n) lại bé hơn f(1) đấy
f(n) nguyên với mọi n bạn ơi
- ThousandMaster yêu thích
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
#8
Đã gửi 29-06-2023 - 23:20
ladygaga
-
- Thành viên mới
-
- 1 Bài viết
Lính mới
Tại sao f(n)<f(1) lại vô lý ạ???
Vô lý, Xét hàm $f(n)=\frac{1}{n}$, n>1 nhưng f(n) lại bé hơn f(1) đấy
Vì TXĐ, Tập giá trị của hàm số f là N*
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ladygaga: 29-06-2023 - 23:21
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
