Chủ đề này có 2 trả lời

[whiterose96]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2) và đường thẳng d: 4x - 3y - 23 = 0. Hai điểm B và C di chuyển trên d sao cho đoạn BC luôn có độ dài bằng 5. Tìm B và C sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất

[tieulyly1995]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2) và đường thẳng d: 4x - 3y - 23 = 0. Hai điểm B và C di chuyển trên d sao cho đoạn BC luôn có độ dài bằng 5. Tìm B và C sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất

Mình nêu hướng giải, bạn tham khảo thử nhé :
Vì $ BC=const $ nên chu vi $\Delta ABC$ min $\Leftrightarrow AB=AC$
Hạ $AH \perp BC$ $\Rightarrow$ H là trung điểm BC
Ta có $AH=d(A,d)=\frac{\left | 4.1-3.2-23 \right |}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}= 5$
và : $BH = 2,5$
$\Rightarrow AB^{2}=31,25$
Gọi $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ là tọa độ 2 điểm B,C cần tìm
sau đó giải hệ :
$\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2} +(y-2)^{2}=31,25& \\ 4x-3y-23=0 & \end{matrix}\right.$

[Mylovemath]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2) và đường thẳng d: 4x - 3y - 23 = 0. Hai điểm B và C di chuyển trên d sao cho đoạn BC luôn có độ dài bằng 5. Tìm B và C sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất

Hoặc bạn có thể làm theo cách này của mình

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC

Chu vi của tam giác ABC nhỏ nhất khi và chỉ khi AB = AC (vì BC cố định bằng 5_gt)

Suy ra H là trung điểm của BC

Dễ dàng tìm được tọa độ của H là $(5;-1)$ (cái này chắc bạn tìm được chứ )

Vì H là trung điểm BC ta có :
$xB + xC = 10$ và $yB+yC=-2$

mà vì khoảng cách của B và C là 5 nên ta có

$\sqrt{(xC-xB)^2 + (yC-yB)^2}=5$

$=>$ $4xC^2 + 4yC^2 - 40xC + 8yC + 79=0$

Kết hợp với ràng buộc B,C thuộc d : $4x-3y-23=0$

Từ đó ta có hệ phương trình sau giải tìm xC hoặc yC :

$\left\{\begin{matrix} 4xC^2 + 4yC^2 - 40xC + 8yC + 79=0& \\ 4xC-3yC-23=0 & \end{matrix}\right.$

Từ đó bạn giải sẽ tìm ra 2 tọa độ của C là

$C(\frac{13}{2};1)$ hoặc $C(\frac{7}{2};-3)$

Và tọa độ của B là :

$B(\frac{7}{2};-3)$ hoặc $B(\frac{13}{2};1)$

Vậy tọa độ của B, C chỉ là 1 trong 2 tọa độ trên thì chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất