NGHỊCH LÝ CÙNG NGÀY SINH NHẬT
Ngô Đức Minh (Cao học Toán ĐHSP TP. Hồ Chí Minh)
giới thiệu
Thật ra nếu tính đầy đủ, tức là tính cả ngày sinh “độc”: 29 tháng 2 (4 năm mới tổ chức sinh nhật được 1 lần) thì có tất cả là 366 ngày sinh nhật. Nếu các bạn có một nhóm 367 người thì chắc chắn rằng sẽ có 2 người cùng ngày sinh nhật (biến cố chắc chắn: xác suất sẽ là 1).
Điều tôi vừa nói chẳng có gì lạ nhưng không biết các bạn có tin không: Chỉ cần nhóm của bạn có 23 người thôi là đã có hơn 50% cơ hội để có 2 bạn cùng ngày sinh rồi! ( tức là xác suất để có 2 người cùng ngày sinh trong nhóm 23 người là lớn hơn 1/2). Mới nghe thì thấy cái tỉ lệ này chẳng hợp lý tí nào nhưng đó lại là sự thật. Những phân tích sau đây có thể chỉ dành cho các bạn đã học phép đếm ở chương trình lớp 11:
Trước tiên ta giả sử nhóm của bạn có $n$ bạn. Vì mỗi bạn đều có 366 cách chọn ngày sinh nhật, cho nên $n$ bạn sẽ có $366^n$ cách chọn ngày sinh- Tức là có tất cả $366^n$ khả năng khác nhau khi nói về ngày sinh của $n$ bạn trong nhóm.
Bây giờ ta sẽ tính xem có bao nhiêu cách chọn ngày sinh cho $n$ bạn trên để sinh nhật của $n$ bạn đó đều khác nhau. Bạn đầu tiên có 366 cách chọn ngày sinh nhật, bạn thứ 2 chỉ còn 365 cách ( vì phải khác ngày sinh nên không được chọn lại ngày sinh của bạn thứ nhất). Tương tự bạn thứ 3 có 364 cách chọn… Như vậy tổng số cách chọn để tất cả n bạn có ngày sinh khác nhau là:
$$366.365.364...(366-n+1)=\dfrac{366!}{(366-n)!}$$
(Một cách khác đây chính là số cách chọn ra $n$ ngày sinh khác nhau từ 366 ngày và có tính đến thứ tự khi chọn, sẽ là chỉnh hợp chập $n$ của 366 phần tử)
Xác suất để ngày sinh của cả $n$ bạn trong nhóm đều khác nhau là:
$$P(A)=\dfrac{366!}{366^n(366-n)!}$$
Suy ra xác suất để trong nhóm n bạn có ít nhất 2 bạn cùng ngày sinh là:
$$P= P(\overline{A})=1- \dfrac{366!}{366^n(366-n)!}$$
Đến đây bạn dùng máy tính (có lẽ phải dùng maple, chứ dùng CASIO nó không tính nổi!) thì thấy rằng với $n=23$ thì $ P \approx 0.506$. Nói khác đi, có đến hơn 50% khả năng để trong nhóm 23 bạn bất kì có 2 bạn cùng ngày sinh nhật.
Thậm chí với $n=57$ thì xác suất đó là 99%! Sau đây là đồ thị thể hiện sự phụ thuộc của $P$ theo $n$:
Nếu quả thật các bạn đọc xong bài này vẫn chưa thật tin tưởng, điều thú vị nên làm là hãy kiểm tra với chính lớp học của bạn và các lớp học bên cạnh nhé…
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ban Biên Tập: 02-04-2012 - 21:15
