Đề thi HSG Tỉnh Quảng Nam 2011-2012 ngày 3-4-2012
#1
Đã gửi 03-04-2012 - 20:20
#2
Đã gửi 03-04-2012 - 21:22
Câu 2b:ta có $21^{39}=7^{39}.3^{39}\vdots 9$,$39^{21}=13^{21}.3^{21}\vdots 9$
$\Rightarrow 21^{39}+39^{21}\vdots 9$
Lại có $21^{39}\equiv 1(mod5)$,$39^{21}\equiv -1(mod5)$
$\Rightarrow 21^{39}+39^{21}\vdots 5$
mà $(9;5)=1$ $\Rightarrow 21^{39}+39^{21}\vdots 45$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dohuuthieu: 03-04-2012 - 21:23
- perfectstrong và thukilop thích
#3
Đã gửi 03-04-2012 - 21:37
Bài2b) ta thấy:
$21^{39}$ = $3^{39}$ x $7^{39}$ từ đây suy ra: $21^{39}$ chia hết cho 9.(1)
$39^{21}$ = $3^{21}$ x $13^{21}$ từ đây suy ra : $39^{21}$ chia hết cho 9.(2)
Lại có: $21^{39}$ có tận cùng là 1
$39^{21}$ có tận cùng là 9
Nên P = $21^{39}$ + $39^{21}$ có tận cùng là 0 suy ra chia hết cho 5(3)
Từ (1) (2) (3) ta dc điều phải chứng minh
- perfectstrong và thukilop thích
#4
Đã gửi 03-04-2012 - 21:46
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 03/4/2012
$\frac{\sqrt[4]{3+2\sqrt{2}}.\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt[3]{(x+12)\sqrt{x}-6x-8}}{\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}-\sqrt{\sqrt{2}+1}.\sqrt[4]{3-2\sqrt{2}}}$
Câu II (4đ):
a/ CMR: $21^{39}+39^{21}\vdots 45$
b/ Tìm a,b thuộc $N^*$ sao cho:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{7}$
Câu 3 (6đ):
a/ Giải phương trình: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}=\frac{1}{2}(x+y+z)$
b/ Tìm k để phương trình $x^2-(2+k)x+3k=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1;x_2$, sao cho $x_1;x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 10
c/ Cho biểu thức $A=x\sqrt{3+y}+y\sqrt{3+x}$, với $x,y\geq 0;x+y=2012$
Tìm GTNN của A
Câu 4 (5đ):
Cho tam giác nhọn $ABC(AB<AC)$ nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác cắt nhau tại I.
a/ Chứng minh tâm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$
b/ Giả sử $\widehat{BAC}=60^o$. Tính diện tích tứ giác $AEOF$ theo R
Câu 5 (3đ):
Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $AB,AC$ của tam giác theo thứ tự ở P,Q. CMR:
$a/PQ^2+AP.AQ=AP^2+AQ^2$
$b/ \frac{AP}{BP}+\frac{AQ}{CQ}=1$
----------Hết ----------
- perfectstrong, Ispectorgadget, thukilop và 4 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 03-04-2012 - 21:57
\[
{\rm{DKXD: x }} \ge {\rm{ 2;y }} \ge {\rm{ 1; z }} \ge {\rm{ 0}}
\]
Với điều kiện trên thì theo AM-GM, ta có:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{\left( {x - 2} \right) + 1}}{2} \ge \sqrt {x - 2} \,\,\,\,\,(1) \\
\frac{y}{2} = \frac{{\left( {y - 1} \right) + 1}}{2} \ge \sqrt {y - 1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\
\frac{{z + 1}}{2} \ge 2\sqrt z \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \\
\end{array}
\]
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế và biến đổi, ta được:
\[
\sqrt {x - 2} \, + \sqrt {y - 1} + \sqrt z \, \ge \,\frac{1}{2}(x + y + z)
\]
Đẳng thức xảy ra khi x=3;y=2;z=1
Kết hợp với giả thiết, suy ra pt có nghiệm: x=3;y=2;z=1
- perfectstrong, thukilop, tranvandung19972012 và 1 người khác yêu thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#6
Đã gửi 03-04-2012 - 22:11
Ta có: \[
\Delta = \left( {2 + k} \right)^2 - 12k = k^2 - 8k + 4
\]
=> PT có 2 ng p/b khi: \[
\Delta \ge 0 \Leftrightarrow \,k^2 - 8k + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k \ge 4 + 2\sqrt 3 \\
k \le 4 - 2\sqrt 3 \\
\end{array} \right.
\]
Lúc đó, áp dụng ĐL Viete, ta có: \[
\left\{ \begin{array}{l}
x_1 + x_2 = k + 2 \\
x_1 x_2 = 3k \\
\end{array} \right.
\]
Từ giả thiết suy ra: \[
\begin{array}{l}
x_1 ^2 + x_2 ^2 = 100 \Leftrightarrow \left( {x_1 + x_2 } \right)^2 - 2x_1 x_2 = 100 \\
\Leftrightarrow \left( {k + 2} \right)^2 - 6k - 100 = 0 \Leftrightarrow k^2 - 2k - 96 = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = 1 + \sqrt {97} \\
k = 1 - \sqrt {97} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}
\]
2 giá trị trên của k đều thoả, vậy ta tìm đc k
- thukilop yêu thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#7
Đã gửi 04-04-2012 - 12:05
$\Rightarrow A\geq (x+y)\sqrt{3+y}\geq 2012\sqrt{3}$
Dấu = xảy ra khi $x=2012$ $y=0$ và hoán vị
Câu 4
câu a quá quen thuộc
câu b CM $ OA \perp EF $
$ \Rightarrow S(AEOF)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF$
$ BC=2R \sin \widehat{BAC} =R\sqrt{3}$
$\bigtriangleup AEF$ ~ $\bigtriangleup ABC
\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}\Rightarrow EF=\cos \widehat{BAC}\cdot BC=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$\Rightarrow S(ABCD)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}(đvdt))$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 04-04-2012 - 19:11
- perfectstrong, NLT và ShenLongHkHT thích
#8
Đã gửi 04-04-2012 - 17:40
Câu 3c Giả xử $x \geq y$
$\Rightarrow A\geq (x+y)\sqrt{3+y}\geq 2012\sqrt{3}$
Dấu = xảy ra khi $x=2012$ $y=0$ và hoán vị
Câu 4
câu a quá quen thuộc
câu b CM $ OA \perp EF $
$ \Rightarrow S(AEOF)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF$
$ BC=2R \sin \widehat{BAC} =R\sqrt{3}$
$\bigtriangleup AEF ~ \bigtriangleup ABC
\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}\Rightarrow EF=\cos \widehat{BAC}\cdot BC=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$\Rightarrow S(ABCD)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}(đvdt))$
Câu 3c Giả xử $x \geq y$
$\Rightarrow A\geq (x+y)\sqrt{3+y}\geq 2012\sqrt{3}$
Dấu = xảy ra khi $x=2012$ $y=0$ và hoán vị
Câu 4
câu a quá quen thuộc
câu b CM $ OA \perp EF $
$ \Rightarrow S(AEOF)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF$
$ BC=2R \sin \widehat{BAC} =R\sqrt{3}$
$\bigtriangleup AEF ~ \bigtriangleup ABC
\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}\Rightarrow EF=\cos \widehat{BAC}\cdot BC=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$\Rightarrow S(ABCD)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}(đvdt))$
bạn nêu rõ cách chứng minh OA vuông góc EF đi nào ? Mình chứng minh nhưng thấy nó ko đc đẹp lắm???
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#9
Đã gửi 04-04-2012 - 18:08
Câu II (4đ):
b/ Tìm a,b thuộc $N^*$ sao cho:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{7}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{2}{7}$
$\Leftrightarrow 14b+7a=4ab$
$\Leftrightarrow 7a=2b(2a-7)$
$\Leftrightarrow 14a=4b(2a-7)$
$\Leftrightarrow 7(2a-7)+49=4b(2a-7)$
$\Leftrightarrow (2a-7)(4b-7)=49$
Đến đây trở thành giải pt nghiệm nguyên, ta có $4$ hệ sau:
$\bullet \left\{\begin{matrix} 2a-7=49\\ 4b-7=1 \end{matrix}\right.$
$\bullet \left\{\begin{matrix} 2a-7=1\\ 4b-7=49 \end{matrix}\right.$
$\bullet \left\{\begin{matrix} 2a-7=-1\\ 4b-7=-49 \end{matrix}\right.$
$\bullet \left\{\begin{matrix} 2a-7=-49\\ 4b-7=-1 \end{matrix}\right.$
Giải từng phương trình, ta nhận kết quả $(a;b)$
$$\boxed{(28;2);(4;14)}$$
- perfectstrong và tranvandung19972012 thích
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
#10
Đã gửi 04-04-2012 - 23:35
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 05-04-2012 - 10:55
- perfectstrong, davildark và minhphuc thích
-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-
#11
Đã gửi 14-06-2012 - 20:08
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) thì Ax vuông góc AObạn nêu rõ cách chứng minh OA vuông góc EF đi nào ? Mình chứng minh nhưng thấy nó ko đc đẹp lắm???
=> CAx=ABC (cùng chắn cung AC)
Mà ABC=AEF (ABEF nội tiếp)
=>CAx=AEF =>Ax//EF
Do đó EF vuông góc AO
#12
Đã gửi 29-10-2012 - 15:24
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hangochoanthien: 29-10-2012 - 15:25
#13
Đã gửi 02-01-2013 - 18:25
#14
Đã gửi 23-02-2017 - 10:01
giải giúp e bai 1 với ạ
#15
Đã gửi 02-03-2018 - 05:41
. Nếu làm theo cách này thì dấu bằng xảy ra phải có x=yCâu 3c Giả xử $x \geq y$$\Rightarrow A\geq (x+y)\sqrt{3+y}\geq 2012\sqrt{3}$Dấu = xảy ra khi $x=2012$ $y=0$ và hoán vịCâu 4câu a quá quen thuộccâu b CM $ OA \perp EF $$ \Rightarrow S(AEOF)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF$$ BC=2R \sin \widehat{BAC} =R\sqrt{3}$$\bigtriangleup AEF$ ~ $\bigtriangleup ABC\Rightarrow \frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}\Rightarrow EF=\cos \widehat{BAC}\cdot BC=\frac{\sqrt{3}}{2}R$$\Rightarrow S(ABCD)=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}R^{2}(đvdt))$
#16
Đã gửi 02-03-2018 - 05:57
#17
Đã gửi 04-03-2018 - 09:35
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh