Cho $X \neq \varnothing$ cùng với phép toán 2 ngôi kết hợp trong $X$. CMR: $X$ là nhóm $\Leftrightarrow aX=Xa=X, \forall a \in X$
Em giải thế này, mong các anh xem và chỉ giúp nếu có chỗ suy luận sai:
$(\Longrightarrow):$ Gọi $e$ là đơn vị của $X$.
$\forall a \in X$ ta có: $ a=ae \in aX \Rightarrow X \subset aX $; Hiển nhiên $ aX \subset X $. Vậy ta có: $ aX = X $
Tương tự ta chứng minh được: $Xa=X$. Do đó: $aX=Xa=X$.
$(\Longleftarrow):$ Do $X \neq \varnothing \Rightarrow \exists a \in X$
Vì $ a \in X=aX \Rightarrow a=ae $. Ta sẽ CM $e$ là đơn vị phải của $X$.
Thật vậy: Lấy $ x \in X=Xa \Rightarrow \exists b \in X: x=ba $, ta có:
$xe=(ba)e=b(ae)=ba=x$. Vậy $e$ là đơn vị phải của $X$. (1)
Đoạn CM sau đây là cái em cần hỏi nhất nè, ko biết có ổn ko, hjj:
Với mỗi $a \in X$, vì $e \in X=aX \Rightarrow \exists a' \in X: e=aa'$. Do đó $a'$ là nghịch đảo phải của $a$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $X$ là nhóm.
CMR: $X$ là nhóm $\Leftrightarrow aX=Xa=X, \forall a \in X$
Bắt đầu bởi kieumy, 04-04-2012 - 18:56
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh