Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tam giác ABC. Tìm I;J;K thuộc AB, BC. AC sao cho tam giác IJK có chu vi nhỏ nhất

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
ironman

ironman

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
Cho tam giác ABC. Tìm I;J;K thuộc AB, BC. AC sao cho tam giác IJK có chu vi nhỏ nhất
MOD: Vui lòng gõ tiêu đề cho cẩn thận.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-04-2012 - 11:53


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Lời giải:
Lấy D,E thứ tự đối xứng với I qua AB,AC.
Hạ đường cao AH, BM,CN.
$P_{JIK}=IK+JI+KJ=DK+KJ+JE \geq DE$
Hình đã gửi
Mặt khác, $AD=AI=AE \Rightarrow \vartriangle DAE$ cân tại A và $\angle DAE=2 \angle BAC$ không đổi nên
$P_{JIK}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ DE nhỏ nhất $\Leftrightarrow AI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AI \perp BC \Leftrightarrow I \perp H$
Khi $I \equiv H$, dễ chứng minh $K \equiv N; J \equiv M$.
Vậy $P_{JIK}$ nhỏ nhất khi I,J,K thứ tự là chân 3 đường cao hạ từ A,B,C.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-04-2012 - 15:07

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
Mylovemath

Mylovemath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
de

Lời giải:
Lấy D,E thứ tự đối xứng với I qua AB,AC.
Hạ đường cao AH, BM,CN.
$P_{JIK}=IK+JI+KJ=DK+KJ+JE \geq DE$
Hình đã gửi
Mặt khác, $AD=AI=AE \Rightarrow \vartriangle DAE$ cân tại A và $\angle DAE=2 \angle BAC$ không đổi nên
$P_{JIK}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ DE nhỏ nhất $\Leftrightarrow AI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AI \perp BC \Leftrightarrow I \perp H$
Khi $I \equiv H$, dễ chứng minh $K \equiv N; J \equiv M$.
Vậy $P_{JIK}$ nhỏ nhất khi I,J,K thứ tự là chân 3 đường cao hạ từ A,B,C.


DE thì liên quan gì đến AI, đừng nói là $AD + AE \geq DE$ nhé vì đây đang tìm min ?

Mà chứng minh góc DAE không đổi để làm gì..2 điểm D, E vẫn di chuyển

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mylovemath: 06-04-2012 - 13:57

i LOVE u

""Yêu hay sao mà Nhìn ""

#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

de


DE thì liên quan gì đến AI, đừng nói là $AD + AE \geq DE$ nhé vì đây đang tìm min ?

Mà chứng minh góc DAE không đổi để làm gì..2 điểm D, E vẫn di chuyển

Lấy D',E' đối xứng với H thứ tự qua AB, AC thì D',E' cố định.
Cố định J,K.
$\angle D'AE'=2\angle BAC=\angle DAE$
Mà $\vartriangle D'AE';\vartriangle DAE$ đều cân tại A
$\Rightarrow \vartriangle D'AE' \sim \vartriangle DAE \Rightarrow \dfrac{D'E'}{DE}=\dfrac{AD'}{AD}=\dfrac{AH}{AI} \leq 1$
$\Rightarrow DE \geq D'E'$
Đẳng thức xảy ra khi $I \equiv H$.
Vậy để DE nhỏ nhất thì $I \equiv H, K \equiv N, J \equiv M$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
Mylovemath

Mylovemath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Lời giải:
Lấy D,E thứ tự đối xứng với I qua AB,AC.
Hạ đường cao AH, BM,CN.
$P_{JIK}=IK+JI+KJ=DK+KJ+JE \geq DE$

Lấy D',E' đối xứng với H thứ tự qua AB, AC thì D',E' cố định.
Cố định J,K.
$\angle D'AE'=2\angle BAC=\angle DAE$
Mà.....



Cố định J,K ??? Ở đâu ra cái quyền đấy ???

Xong ADE và AD'E' thì liên quan gì đến AH và AI mà lập ra được cả 1 CÔNG THỨC MỚI nhỉ ????

Nếu được cậu hãy kiểm tra và giải thích kĩ hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mylovemath: 07-04-2012 - 18:41

i LOVE u

""Yêu hay sao mà Nhìn ""

#6
Sui Max

Sui Max

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Cho tam giác ABC. Tìm I;J;K thuộc AB, BC. AC sao cho tam giác IJK có chu vi nhỏ nhất
MOD: Vui lòng gõ tiêu đề cho cẩn thận.

nếu ABC không là tam giác có 3 góc nhọn thì sao ??






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh