Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng số $$m = n(n+1)...(n+7)+7!$$ không thể biễu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nhantd97

nhantd97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số
$m = n(n+1)...(n+7)+7!$
không thể biễu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( vói k nguyên dương, kí hiệu k! chỉ tích 1.2.3...k)

#2
famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
đào mộ cái pic :D
dễ thấy n(n+1)....(n+7) chia hết 64
( tích 8 số liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 8, 1 số nữa chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8, 1 số chẵn nữa không chia hết cho 4)
7! thì chia hết cho 16
như thế thì sẽ có m $\vdots$ 16. Giả sử m biểu diễn được dạng $a^2+b^2$ (a,b $\epsilon$ Z)
ta lại có tính chất số chính phương thì $\equiv$ 0,1,4,9 (mod 16)
chỉ có $a^2$ $\equiv$ $b^2$ $\equiv$ 0 (mod 16) mới thỏa mãn được m $\vdots$ 16
như vậy a và b cùng $\vdots$ 4. Đặt a=4c,b=4d ta lại có $\frac{m}{16}$=$c^2+d^2$
$\Leftrightarrow$ $c^2+d^2$=$\frac{64k+7!}{16}$=4k+315$\equiv$3 (mod 4)
có tính chất số chính phương thì $\equiv$ 0,1 (mod 4)
do đó không tồn tại cặp c,d thỏa mãn $\Rightarrow$ không tồn tại a,b để biểu diễn m dưới dạng tổng 2 số chính phương
Ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 12-07-2012 - 06:31


#3
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số
$m = n(n+1)...(n+7)+7!$
không thể biễu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( vói k nguyên dương, kí hiệu k! chỉ tích 1.2.3...k)

Cách khác
Nhận xét $n(n+1)(n+2)...(n+7) \vdots 128$
Xét $m=a^2+b^2$
Nếu $m \vdots 4 \Rightarrow a,b \vdots 2 \Rightarrow \dfrac{d}{4}=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$
Tiếp tục làm như vậy suy ra $\dfrac{d}{16}=\left(\dfrac{a}{4}\right)^2+\left(\dfrac{b}{4}\right)^2$
Nhưng $\dfrac{d}{16}=\dfrac{128k+7!}{16} \equiv 3 \pmod{4}$ (do $v_2(7!)=4$)
Nên nó không thành tổng hai số chính phương $đpcm$




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh