Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng số $$m = n(n+1)...(n+7)+7!$$ không thể biễu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nhantd97

nhantd97

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-04-2012 - 16:31

Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số
$m = n(n+1)...(n+7)+7!$
không thể biễu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( vói k nguyên dương, kí hiệu k! chỉ tích 1.2.3...k)

#2 famas1stvn98

famas1stvn98

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-07-2012 - 22:58

đào mộ cái pic :D
dễ thấy n(n+1)....(n+7) chia hết 64
( tích 8 số liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 8, 1 số nữa chia hết cho 4 mà không chia hết cho 8, 1 số chẵn nữa không chia hết cho 4)
7! thì chia hết cho 16
như thế thì sẽ có m $\vdots$ 16. Giả sử m biểu diễn được dạng $a^2+b^2$ (a,b $\epsilon$ Z)
ta lại có tính chất số chính phương thì $\equiv$ 0,1,4,9 (mod 16)
chỉ có $a^2$ $\equiv$ $b^2$ $\equiv$ 0 (mod 16) mới thỏa mãn được m $\vdots$ 16
như vậy a và b cùng $\vdots$ 4. Đặt a=4c,b=4d ta lại có $\frac{m}{16}$=$c^2+d^2$
$\Leftrightarrow$ $c^2+d^2$=$\frac{64k+7!}{16}$=4k+315$\equiv$3 (mod 4)
có tính chất số chính phương thì $\equiv$ 0,1 (mod 4)
do đó không tồn tại cặp c,d thỏa mãn $\Rightarrow$ không tồn tại a,b để biểu diễn m dưới dạng tổng 2 số chính phương
Ta được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 12-07-2012 - 06:31


#3 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 12-07-2012 - 07:17

Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số
$m = n(n+1)...(n+7)+7!$
không thể biễu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( vói k nguyên dương, kí hiệu k! chỉ tích 1.2.3...k)

Cách khác
Nhận xét $n(n+1)(n+2)...(n+7) \vdots 128$
Xét $m=a^2+b^2$
Nếu $m \vdots 4 \Rightarrow a,b \vdots 2 \Rightarrow \dfrac{d}{4}=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$
Tiếp tục làm như vậy suy ra $\dfrac{d}{16}=\left(\dfrac{a}{4}\right)^2+\left(\dfrac{b}{4}\right)^2$
Nhưng $\dfrac{d}{16}=\dfrac{128k+7!}{16} \equiv 3 \pmod{4}$ (do $v_2(7!)=4$)
Nên nó không thành tổng hai số chính phương $đpcm$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh