Bài này khá hay:
Bổ đề 1: Cho $\Delta$ABC, đặt $\widehat{BAC}=\delta$, $BC=a,CA=b,AB=c$. Khi ấy: $\frac{1}{sin(\delta)}=\frac{bc}{2S_{ABC}}$
Chứng minh bổ đề 1:Xét $\delta < 90^o$:Lúc đó, ta kẻ đường cao BH của $\Delta$ABC. Vậy $S_{ABC}=\frac{BH.AC}{2}=\frac{BH.b}{2}$ (1)
Lại có $\Delta$ABH vuông tại H nên $sin(\delta)=\frac{BH}{AB}=\frac{BH}{c}$ (2)
Từ (1), (2) $\to \frac{1}{sin(\delta)}=\frac{bc}{2S'_{ABC}}$
Xét $\delta = 90^o$:Khi đó $\Delta$ABC vuông tại H. Vậy $sin(\delta)=sin(90^o)=1$ và $S'_{ABC}=\frac{bc}{2}$
$\to \frac{1}{sin(\delta)}=\frac{bc}{2S_{ABC}}$
Xét $\delta > 90^o$Kẻ đường cao BK của $\Delta$ABC. Vậy $S_{ABC}=\frac{BK.AC}{2}=\frac{BK.b}{2}$ (3)
Lại có $\Delta$ABK vuông tại K nên $sin(\delta)=sin(180^o-\delta)=sinBAK=\frac{BK}{AB}=\frac{BK}{c}$ (4)
Từ (3), (4) $\to \frac{1}{sin(\delta)}=\frac{bc}{2S_{ABC}}$
Tóm lại,
Bổ đề 1 được Chứng minh.
Bổ đề 2: Cho $\Delta$ABC, trung tuyến $AM=m_a$. Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$ ($a,b,c>0$). Khi ấy: $4m_a^2+a^2=2(b^2+c^2)$
(Bổ đề này quá quen thuộc nên mình xin phép không chứng minh, nếu cần chúng minh cứ hỏi mình)
Bổ đề 3: Cho $\Delta$ABC. Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$ ($a,b,c>0$). Đặt diện tích $\Delta$ABC=S'.
Khi ấy: $16S'^2=4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^2+b^2+c^2)^2$
Chứng minh
bổ đề 3:
Ta có $16S'=16p(p-a)(p-b)(p-c)$ (với p là nửa chu vi $\Delta$ABC)
$=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$
$=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-a^4-b^4-c^4$
$=4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^2+b^2+c^2)^2$ (đpcm)
Trở lại với bài toán:Kẻ đường trung tuyến BM, CN của $\Delta$ABC cắt nhau tại G. Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$ ($a,b,c>0$).
Gọi $\widehat{ABC}=\alpha$, $\widehat{ACB}=\beta$. Đặt diện tích $\Delta$ABC=S'.
Vậy G là trọng tâm $\Delta$ABC hay $\frac{BG}{BM}=\frac{CG}{CM}=\frac{2}{3}$
Áp dụng
Bổ đề 2 ta có:
$4BM^2+b^2=2(a^2+c^2)$
$4CN^2+c^2=2(a^2+b^2)$
$\to 4BM^2+4CN^2+b^2+c^2=4a^2+2b^2+2c^2$
$\to 4(\frac{3BG}{2})^2+4(\frac{3CG}{2})^2=4a^2+b^2+c^2$
$\to 9(BG^2+CG^2)=4a^2+b^2+c^2$
Lại thấy $\Delta$BGC vuông tại G nên $BG^2+CG^2=a^2$
$\to 9a^2=4a^2+b^2+c^2$
$\to 5a^2=b^2+c^2$
Ta thấy:
Áp dụng Bổ đề 1 thì $\frac{1}{sin(\alpha)}=\frac{ac}{2S'}$ và $\frac{1}{sin(\beta)}=\frac{ab}{2S'}$
suy ra $\frac{1}{sin^2(\alpha)}+\frac{1}{sin^2(\beta)}$
$=\frac{a^2b^2+a^2c^2}{4S'^2}$
$=\frac{4a^2(b^2+c^2)}{16S'^2}$
$=\frac{4a^2.5a^2}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}$
$=\frac{20a^4}{4(a^2(b^2+c^2)+b^2c^2)-(6a^2)^2}$
$=\frac{20a^4}{4b^2c^2-16a^4}$
$=\frac{5a^4}{b^2c^2-4a^4}$
Ta có: áp dụng BĐT cô-si cho 2 số dương thì:
$bc \leq \frac{b^2+c^2}{2}=\frac{5a^2}{2}$
Khi đó: $\frac{5a^4}{b^2c^2-4a^4} \geq \frac{5a^4}{(\frac{5a^2}{2})^2-4a^4}=\frac{20}{9}$
Vậy: $\frac{1}{sin^2(\alpha)}+\frac{1}{sin^2(\beta)} \geq \frac{20}{9}$
suy ra:
$S=\frac{\sqrt{3}}{sin^2ABC}+\frac{\sqrt{3}}{sin^2ACB}+\sqrt{2}$
$=\sqrt{3}.(\frac{1}{sin^2(\alpha)}+\frac{1}{sin^2(\beta)})+\sqrt{2}$
$\geq \frac{20 \sqrt{3}}{9}+\sqrt{2}$
$=\frac{20\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{9}$
Vậy $S_{min}=\frac{20\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{9} \Leftrightarrow b=c=\frac{\sqrt{10}a}{2} \Leftrightarrow \Delta$ABC cân tại A có $AC=AB=\frac{\sqrt{10}BC}{2}$
__________________________________________________________________________
Mở rộng đây:
Đặt $BC=a,CA=b,AB=c$ ($a,b,c>0$).
Gọi $\widehat{ABC}=\alpha$, $\widehat{ACB}=\beta$., $\widehat{CAB}=\gamma$
Đặt diện tích $\Delta$ABC=S.
Với đề bài như vậy, ta có thể:
1. Tìm Min của $A=\frac{1}{sin^{2n} \alpha}+\frac{1}{sin^{2n} \beta}$ ($n \in N^*$)
2. Tìm Max của $B=sin^{2n} \alpha+sin^{2n} \beta$ ($n \in N^*$)
3. Tìm Min của $C=\frac{1}{sin^{2n} \alpha}+\frac{1}{sin^{2n} \beta}+\frac{1}{sin^{2n} \gamma}$ ($n \in N^*$)
Chứng minh các mở rộng:
Với cách làm tương tự của bài toán gốc, ta có:
Đặt $sin(\alpha) =x, sin(\beta) =y, sin( \gamma)=z$
Khi ấy: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq \frac{20}{9}$
1. $A=\frac{1}{sin^{2n} \alpha}+\frac{1}{sin^{2n} \beta} $
$=\frac{1}{x^{2n}}+\frac{1}{y^{2n}}$
Áp dụng BĐT cô si :
$\frac{\frac{1}{x^{2n}}+\frac{1}{y^{2n}}}{2} \geq (\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}}{2})^n \geq (\frac{10}{9})^n$
Hay $A=\frac{1}{x^{2n}}+\frac{1}{y^{2n}} \geq \frac{10^n}{2.9^n}$
Suy ra ...
2. Áp dụng kết quả của bài toán gốc thì:
$sin^2(\alpha)+sin^2(\beta)$
$=\frac{4S^2}{a^2b^2}+\frac{4S^2}{a^2c^2}$
$=\frac{4S^2.(b^2+c^2)}{a^2b^2c^2}$
$=\frac{20S^2}{b^2c^2}$
Lại có: theo bài toán gốc thì ta đã CM được $4S=b^2c^2-4a^4$
Do đó $sin^2(\alpha)+sin^2(\beta)$
$=\frac{5(b^2c^2-4a^4)}{b^2c^2}$
$\leq \frac{5.(b^2c^2-4.\frac{4b^2c^2}{25})}{b^2c^2}$
$=\frac{9}{5}$
Vậy:...
"Chú ý: có thể sử dụng BĐT này để Tìm Min của Bài toán gốc bằng BĐT: $\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \geq \frac{4}{m+n}$"
3. (Cái này khó hơn)
Cũng sử dụng kết quả của bài toán gốc để có:
$C'=\frac{1}{sin^{2} \alpha}+\frac{1}{sin^{2} \beta}+\frac{1}{sin^{2} \gamma}$
$=\frac{a^2b^2}{4S^2}+\frac{b^2c^2}{4S^2}+\frac{c^2a^2}{4S^2}$
$=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{4S^2}$
$=\frac{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^2+b^2+c^2)^2}$
$=\frac{4}{4-\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}$
$=\frac{4}{4-\frac{(6a^2)^2}{5a^4+b^2c^2}}$
$\geq \frac{4}{4-\frac{36a^4}{5a^4+\frac{25a^4}{4}}}$
$=5$
Áp dụng BĐT: $\frac{x^n+y^n+z^n}{3} \geq (\frac{x+y+z}{3})^n$, ta được:
$C=\frac{1}{sin^{2n} \alpha}+\frac{1}{sin^{2n} \beta}+\frac{1}{sin^{2n} \gamma}$
$\geq 3.(\frac{\frac{1}{sin^{2} \alpha}+\frac{1}{sin^{2} \beta}+\frac{1}{sin^{2} \gamma}}{3})^n$
$\geq 3.(\frac{5}{3})^n$
Lời giải tốt, tuy khá nặng. Bỏ qua các lỗi lặt vặt không đáng kể.D-B=12.9hE=9.9F=3 * 10=30S=94.8
Edited by perfectstrong, 11-04-2012 - 20:52.