Trong nhóm hoán vị $S_{10}$, cho $\sigma_1 ; \sigma_2$...
#1
Đã gửi 07-04-2012 - 16:37
Đề bài: Trong nhóm hoán vị $S_{10}$, cho $$\sigma_1= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 3 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 4 & 10 & 9
\end{pmatrix}$$
$$\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$$
Viết $\sigma_1$ và $\sigma_2$ và $\sigma_1 \sigma_2$ dưới dạng tích các chu trình rời nhau và dưới dạng tích các chuyển vị.
Giải:
...Em có đọc lời giải nhưng ...ko hiểu, hjjj
Ta có: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$
Cho em hỏi, em có thể viết: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (1 6)(1 5)(1 3)(1 2)(4 8)(4 7)(9 10)$ được ko ạ?
Và $\sigma_2=(1 5 2 7)$. Cái này em ko hiểu tích của 3 chu trình trong $\sigma_2$ được thực hiện theo thứ tự như thế nào để có $\sigma_2=(1 5 2 7)$ ?
Cho em hỏi thêm:
1) Từ $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ mình có thể viết $\sigma_2$ có dạng 2 dòng như kiểu $\sigma_1$ được ko? Cách thực hiện như thế nào?
2) Khi một hoán vị được viết ở dạng tích của các chuyển vị (như $\sigma_1=(6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$, ta muốn nhân với một hoán vị được viết ở dạng tích của các chu trình (như $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ thì mình thực hiện như thế nào?
3) Trong lời giải có nói: $\sigma_1 \sigma_2 =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} (1 5 2 7)= (1 6)(2 8 4 7)(3 5)(9 10)$, em chẳng hiểu cách nhân này thực hiện như thế nào?
- DOTOANNANG yêu thích
#2
Đã gửi 07-04-2012 - 22:33
Các anh giải thích giúp em vấn đề này nha:
Đề bài: Trong nhóm hoán vị $S_{10}$, cho $$\sigma_1= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 3 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 4 & 10 & 9
\end{pmatrix}$$
$$\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$$
Viết $\sigma_1$ và $\sigma_2$ và $\sigma_1 \sigma_2$ dưới dạng tích các chu trình rời nhau và dưới dạng tích các chuyển vị.
Giải:
...Em có đọc lời giải nhưng ...ko hiểu, hjjj
Ta có: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$
Cho em hỏi, em có thể viết: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (1 6)(1 5)(1 3)(1 2)(4 8)(4 7)(9 10)$ được ko ạ?
Và $\sigma_2=(1 5 2 7)$. Cái này em ko hiểu tích của 3 chu trình trong $\sigma_2$ được thực hiện theo thứ tự như thế nào để có $\sigma_2=(1 5 2 7)$ ?
Cho em hỏi thêm:
1) Từ $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ mình có thể viết $\sigma_2$ có dạng 2 dòng như kiểu $\sigma_1$ được ko? Cách thực hiện như thế nào?
2) Khi một hoán vị được viết ở dạng tích của các chuyển vị (như $\sigma_1=(6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$, ta muốn nhân với một hoán vị được viết ở dạng tích của các chu trình (như $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ thì mình thực hiện như thế nào?
3) Trong lời giải có nói: $\sigma_1 \sigma_2 =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} (1 5 2 7)= (1 6)(2 8 4 7)(3 5)(9 10)$, em chẳng hiểu cách nhân này thực hiện như thế nào?
Thực chất 2 cách viết trên của $\sigma_1$là như nhau.
Tiếp theo mình trình bài cách tính $\sigma_2$
Cách nhân 3 chu trình trong $\sigma_2$ như sau :
Lưu ý : Thứ tự thực hiện là từ trái qua phải
$\sigma_2(1)$ được tính như sau
Từ chu trình đầu $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6\end{pmatrix}$ ta thấy $1 \mapsto 2$
chu trình thứ hai $\begin{pmatrix}
2 & 5\end{pmatrix}$ ta thấy $2 \mapsto 5$
chu trình thứ ba $\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7\end{pmatrix}$ ta thấy $5 \mapsto 5$
Vậy $\sigma_2(1)=5$
Tương tự
$\sigma_2(2)=7$ , $\sigma_2(3)=3$ , $\sigma_2(4)=4$
$\sigma_2(5)=2$ , $\sigma_2(6)=6$ , $\sigma_2(7)=1$
$\sigma_2(8)=8$ , $\sigma_2(9)=9$ , $\sigma_2(10)=10$
Vậy $\sigma_2=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9 & 9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10 & 10\end{pmatrix}$
Để ngắn gọn người ta thường viết $\sigma_2=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2 & 7\end{pmatrix}$
Còn cách tính $\sigma_1$ $\sigma_2$ cách tính tương tự như trên.
P/S : Gõ xong đuối luôn @_^) . Chúc bạn học tốt !
- Ispectorgadget, funcalys, Draconid và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 08-04-2012 - 00:43
- DOTOANNANG yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh