Đến nội dung

Hình ảnh

Trong nhóm hoán vị $S_{10}$, cho $\sigma_1 ; \sigma_2$...


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Các anh giải thích giúp em vấn đề này nha:

Đề bài: Trong nhóm hoán vị $S_{10}$, cho $$\sigma_1= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 3 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 4 & 10 & 9
\end{pmatrix}$$

$$\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$$

Viết $\sigma_1$ và $\sigma_2$ và $\sigma_1 \sigma_2$ dưới dạng tích các chu trình rời nhau và dưới dạng tích các chuyển vị.

Giải:

...Em có đọc lời giải nhưng ...ko hiểu, hjjj

Ta có: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$

Cho em hỏi, em có thể viết: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (1 6)(1 5)(1 3)(1 2)(4 8)(4 7)(9 10)$ được ko ạ?

Và $\sigma_2=(1 5 2 7)$. Cái này em ko hiểu tích của 3 chu trình trong $\sigma_2$ được thực hiện theo thứ tự như thế nào để có $\sigma_2=(1 5 2 7)$ ?

Cho em hỏi thêm:

1) Từ $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ mình có thể viết $\sigma_2$ có dạng 2 dòng như kiểu $\sigma_1$ được ko? Cách thực hiện như thế nào?

2) Khi một hoán vị được viết ở dạng tích của các chuyển vị (như $\sigma_1=(6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$, ta muốn nhân với một hoán vị được viết ở dạng tích của các chu trình (như $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ thì mình thực hiện như thế nào?

3) Trong lời giải có nói: $\sigma_1 \sigma_2 =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} (1 5 2 7)= (1 6)(2 8 4 7)(3 5)(9 10)$, em chẳng hiểu cách nhân này thực hiện như thế nào?

#2
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Các anh giải thích giúp em vấn đề này nha:

Đề bài: Trong nhóm hoán vị $S_{10}$, cho $$\sigma_1= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 3 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 4 & 10 & 9
\end{pmatrix}$$

$$\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$$

Viết $\sigma_1$ và $\sigma_2$ và $\sigma_1 \sigma_2$ dưới dạng tích các chu trình rời nhau và dưới dạng tích các chuyển vị.

Giải:

...Em có đọc lời giải nhưng ...ko hiểu, hjjj

Ta có: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$

Cho em hỏi, em có thể viết: $\sigma_1=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} = (1 6)(1 5)(1 3)(1 2)(4 8)(4 7)(9 10)$ được ko ạ?

Và $\sigma_2=(1 5 2 7)$. Cái này em ko hiểu tích của 3 chu trình trong $\sigma_2$ được thực hiện theo thứ tự như thế nào để có $\sigma_2=(1 5 2 7)$ ?
Cho em hỏi thêm:

1) Từ $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ mình có thể viết $\sigma_2$ có dạng 2 dòng như kiểu $\sigma_1$ được ko? Cách thực hiện như thế nào?

2) Khi một hoán vị được viết ở dạng tích của các chuyển vị (như $\sigma_1=(6 5)(6 3)(6 2)(6 1)(8 7)(8 4)(9 10)$, ta muốn nhân với một hoán vị được viết ở dạng tích của các chu trình (như $\sigma_2=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4 & 3
\end{pmatrix}$ thì mình thực hiện như thế nào?

3) Trong lời giải có nói: $\sigma_1 \sigma_2 =\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 7 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
9 & 10 \end{pmatrix} (1 5 2 7)= (1 6)(2 8 4 7)(3 5)(9 10)$, em chẳng hiểu cách nhân này thực hiện như thế nào?


Thực chất 2 cách viết trên của $\sigma_1$là như nhau.

Tiếp theo mình trình bài cách tính $\sigma_2$

Cách nhân 3 chu trình trong $\sigma_2$ như sau :
Lưu ý : Thứ tự thực hiện là từ trái qua phải

$\sigma_2(1)$ được tính như sau

Từ chu trình đầu $\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 5 & 6\end{pmatrix}$ ta thấy $1 \mapsto 2$
chu trình thứ hai $\begin{pmatrix}
2 & 5\end{pmatrix}$ ta thấy $2 \mapsto 5$
chu trình thứ ba $\begin{pmatrix}
1 & 3 & 4 & 7\end{pmatrix}$ ta thấy $5 \mapsto 5$
Vậy $\sigma_2(1)=5$
Tương tự
$\sigma_2(2)=7$ , $\sigma_2(3)=3$ , $\sigma_2(4)=4$
$\sigma_2(5)=2$ , $\sigma_2(6)=6$ , $\sigma_2(7)=1$
$\sigma_2(8)=8$ , $\sigma_2(9)=9$ , $\sigma_2(10)=10$

Vậy $\sigma_2=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2 & 7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9 & 9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10 & 10\end{pmatrix}$

Để ngắn gọn người ta thường viết $\sigma_2=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2 & 7\end{pmatrix}$

Còn cách tính $\sigma_1$ $\sigma_2$ cách tính tương tự như trên.

P/S : Gõ xong đuối luôn @_^) . Chúc bạn học tốt !

#3
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Cảm ơn anh rất nhiều. Bây giờ thì em đã hiểu, và có thể tự trả lời được câu hỏi thêm số 2, :icon6: . Như vậy theo em thấy thì để nhân 2 hoán vị mà trong đó có một hoán vị viết dưới dạng tích của các chuyển vị thì cách nhanh nhất là mình chuyển tích các chuyển vị ấy về dạng tích các chu trình rời nhau, sau đó mình nhân sẽ nhanh hơn, hjjj Chúc anh có nhiều sức khỏe!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh