Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho R là vành thỏa tính chất $x^2=x$ , $\forall x \in R$ .Chứng minh rằng R là vành giao hoán


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 07-04-2012 - 21:21

Bài toán :

a) Cho R là vành thỏa tính chất $x^2=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán

b) Cho R là vành thỏa tính chất $x^3=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán

c) Cho R là vành thỏa tính chất $x^4=x$ , $\forall x \in R$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán

Tổng quát :

Cho R là vành thỏa tính chất $x^n=x$ , $\forall x \in R$ với $n \in N$
Chứng minh rằng R là vành giao hoán

#2 kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 13-04-2012 - 19:57

Em giải thế này, có sai thì a chỉ giúp nha, hjj

a) Với mọi $x \in R \Rightarrow -x \in R$, ta có: $x=x^2=(-x)^2=-x \,\,\,\,(1)$

Với $y \in R$ ta có:

$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y \Rightarrow xy+yx=0$

$\Rightarrow xy=-yx =-(yx)=yx$ (do $(1)$). Vậy R là vành giao hoán.

b) $x^3=x \Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow u^2=u , \forall u \in R$.

Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.

c) $x^4=x \Rightarrow x^6=x^3$. Đặt $t=x^3 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow t^2=t , \forall t \in R$.

Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.

Tổng quát:

...Chờ xem cách làm trên đúng ko rùi mới suy nghĩ bài t.quát này, hjjj

#3 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 14-04-2012 - 15:06

a) Với mọi $x \in R \Rightarrow -x \in R$, ta có: $x=x^2=(-x)^2=-x \,\,\,\,(1)$

Với $y \in R$ ta có:

$x+y=(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2=x+xy+yx+y \Rightarrow xy+yx=0$

$\Rightarrow xy=-yx =-(yx)=yx$ (do $(1)$). Vậy R là vành giao hoán.


Câu a) chứng minh như vậy là đúng rồi.

b) $x^3=x \Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \in R$. Từ giả thiết $\Rightarrow u^2=u , \forall u \in R$.

Áp dụng câu a) ta suy ra R là vành giao hoán.


Câu b) thì My chỉ chứng minh nó đúng trong trường hợp $\forall x^2 \in R$ thôi...My chưa chứng minh được nó đúng trong trường hợp $\forall x \in R$

Tương tự thì câu c) cũng vậy...chứng minh chưa đầy đủ.

Gợi ý nhỏ cho trường hợp b) c) : Xét $x-x^2$

Một câu hỏi nhỏ là với phương pháp chứng minh ở trường hợp b) c) thì có thể áp dụng cho trường hợp tổng quát được hay không? @_^)

#4 kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 14-04-2012 - 20:12

Ở câu b) và c) e cũng nghi là giải sai rùi, hjj

E chứng minh tiếp câu b) thế này:

Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\, (1)$, do đó:

$xy=(xy)^3=xy.xy.xy=x.yx.yx.y=x(yx)^2y=xy(yx)^2$ (do $(1)$)

$=xy.yx.yx=xy^2xyx=y^2x^2yx=y^2yx^2x=y^3x^3=yx$. Vậy R là vành giao hoán.

Câu c), tương tự ta cũng có:

$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\, (2)$

E định biến đổi kiểu tương tự câu b), nhưng làm mãi hok được :wacko: , hic..

Hiển nhiên là bài TQ thì ...bờ i bi sắc ..bí :icon9: !

#5 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 14-04-2012 - 21:47

E chứng minh tiếp câu b) thế này:

Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\,$


Câu c), tương tự ta cũng có:

$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\,$


2 cái đẳng thức trên My chứng minh thế nào ? Nó chỉ đúng khi $R$ là vành giao hoán thôi, ở đây ta chưa biết $R$ có giao hoán không @_^)

Lập luận tiếp theo My đã sử dụng tính giao hoán của vành $R$ rồi. @_^)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 14-04-2012 - 21:51


#6 kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 15-04-2012 - 17:09

E chứng minh tiếp câu b) thế này:

Ta đã có: $x^2y=yx^2, \forall x, y \in R \,\,\,$


Câu c), tương tự ta cũng có:

$x^3y=yx^3, \forall x, y \in R \,\,\,$


2 cái đẳng thức trên My chứng minh thế nào ? Nó chỉ đúng khi $R$ là vành giao hoán thôi, ở đây ta chưa biết $R$ có giao hoán không @_^)

Lập luận tiếp theo My đã sử dụng tính giao hoán của vành $R$ rồi. @_^)


Hiii, e hiểu sai nữa rồi khi áp dụng kq câu a cho câu b.

E giải lại câu b thế này:

Từ gt $\Rightarrow x^4=x^2$. Đặt $u=x^2 \Rightarrow u^2=u \,\,\,\,(1)$

Ta cần CM $yu=uy\,\,\,\, \forall u, y \in R$, ý tưởng là sẽ CM $yu=uyu=uy$

Ta có: $(yu-uyu)^2=(yu-uyu)(yu-uyu)=yu.yu-yu.uyu-uyu.yu+uyu.uyu$

$=yu.yu-y.u^2.yu-uyu.yu+uy.u^2yu=yu.yu-yu.yu-uyu.yu+uy.uyu=0$ (do $(1)$)

$\Rightarrow (yu-uyu)^3=(yu-uyu)^2.(yu-uyu)=0.(yu-uyu)=0$

$\Rightarrow (yu-uyu)=0 \Rightarrow yu=uyu$ (do $x^3=x \,\,\,\, \forall x \in R$)

Tương tự ta cũng CM được: $(uy-uyu)^2=0 \Rightarrow uy=uyu$

Do đó ta có: $yu=uy$, tức là có: $x^2y=yx^2, \,\,\,\, \forall x, y \in R$.

Với câu c em cũng đặt: $t=x^3 \Rightarrow t^2=t$ và CM tương tự như trên em cũng có $x^3y=yx^3, \,\,\,\,\forall x, y \in R $

Nhưng với câu c thì em ko CM bước cuối cùng để đi đến $xy=yx$ như câu b được, hic..

Có gì chưa đúng anh góp ý giúp e nha, cảm ơn anh nhìu nhìu!

#7 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 15-04-2012 - 19:16

Cách chứng minh câu b) của My có chút sáng tạo đấy @_^) ... nhưng ko khả thi cho số mũ càng lên cao. Mình có hint là xét $x-x^2$, My thử xem sao ... cả câu b) và câu c) đều đưa về trường hợp a) ... và rất gọn nữa @_^). Bài tổng quát cũng giải theo ý tưởng này.

#8 kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-04-2012 - 18:19

E suy nghĩ mãi theo gợi ý đó mà cũng ko biết áp dụng thế nào, hic.. anh gợi ý rõ hơn nữa đi, hjj. Thanks anh nhìu!

#9 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 18-04-2012 - 19:05

E suy nghĩ mãi theo gợi ý đó mà cũng ko biết áp dụng thế nào, hic.. anh gợi ý rõ hơn nữa đi, hjj. Thanks anh nhìu!


Câu b : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6=x-3x^2+3x-x^2$ hay $3(x-x^2)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$

Câu c : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8=x-4x^2+6x^3-4x+x^2$

hay $4x+2x^2=6x^3$ (1) .Nhân $x$ vào 2 vế đẳng thức (1) ta có $4x^2+2x^3=6x^4=6x$ (2)

Thế $x^3$ ở (2) vào (1) ta được $4x+2x^2=3(6x-4x^2)=18x-12x^2$ hay $14(x^2-x)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$

#10 kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-04-2012 - 07:06

Câu b : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6=x-3x^2+3x-x^2$ hay $3(x-x^2)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$

Câu c : $\forall x \in R$ , $x-x^2=(x-x^2)^4=x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8=x-4x^2+6x^3-4x+x^2$

hay $4x+2x^2=6x^3$ (1) .Nhân $x$ vào 2 vế đẳng thức (1) ta có $4x^2+2x^3=6x^4=6x$ (2)

Thế $x^3$ ở (2) vào (1) ta được $4x+2x^2=3(6x-4x^2)=18x-12x^2$ hay $14(x^2-x)=0$

suy ra $x^2=x$ , $\forall x \in R$


:ukliam2: wow! cách giải này đẹp thật, thanks anh nhìu!

#11 nguyenduchung1

nguyenduchung1

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 14-04-2013 - 18:16

Giải quyết tổng quát cho bài này ta có thể sử dụng định lý Jacopson.

bạn thử giải quyết thêm điều kiện sau nhé : Cho $R$ là một vành thỏa mãn : $\forall x\in R : x^2=x$ . Chứng minh : $x+x=0$.



#12 leminhansp

leminhansp

    $\text{Hâm hấp}$

  • Điều hành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 26-05-2013 - 02:07

Giải quyết tổng quát cho bài này ta có thể sử dụng định lý Jacopson.

bạn thử giải quyết thêm điều kiện sau nhé : Cho $R$ là một vành thỏa mãn : $\forall x\in R : x^2=x$ . Chứng minh : $x+x=0$.

 

$(x+1)^2=x+1\Leftrightarrow x^2+x+x+1=x+1\Leftrightarrow x+x=0$


Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!

 

Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath

Website: Cungnhauhoctoan.com


#13 Tieu Vuong Gia

Tieu Vuong Gia

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Đã gửi 01-08-2015 - 12:07

$(x+1)^2=x+1\Leftrightarrow x^2+x+x+1=x+1\Leftrightarrow x+x=0$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh