Đến nội dung

Hình ảnh

Cho R là vành, giả sử $a \in R$ có nhiều hơn một phần tử nghịch đảo phải .Chứng minh rằng $a$ có vô số phần tử nghịch đảo phải.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
Bài toán 1 : Cho R là vành, giả sử $a \in R$ có nhiều hơn một phần tử nghịch đảo phải .Chứng minh rằng $a$ có vô số phần tử nghịch đảo phải.

Bài toán 2 : Cho $D$ là vành chia, $K$ là tâm của $D$
Chứng minh rằng tâm của $D[x]$ là $K[x]$ , trong đó $D[x] , K[x]$ là các vành đa thức theo $x$ với hệ số thuộc vành tương ứng

Vành chia là vành mà các phần tử khác 0 đều khả nghịch
$K$ là tâm của $D$ tức là $K=\{x \in R \mid xy=yx , \forall y \in R \}$

#2
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Bài 1:

Giả sử $a \in R$ có 2 phần tử nghịch đảo phải là $b, c$. Ta có:

$ab=a=ac \Rightarrow (ab)c=a \Rightarrow a(bc)=a$. Suy ra $bc$ cũng là nghịch đảo phái của $R$. Do đó: $R$ có vô số nghịch đảo phải.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kieumy: 16-04-2012 - 06:58


#3
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Bài 1:

Giả sử $a \in R$ có 2 phần tử nghịch đảo phải là $b, c$. Ta có:

$ab=a=ac \Rightarrow (ab)c=a \Rightarrow a(bc)=a$. Suy ra $bc$ cũng là nghịch đảo phái của $R$. Do đó: $R$ có vô số nghịch đảo phải.


My viết rằng $ab=a=ac$ là không đúng ... nếu như vậy thì $b=c=1$ rồi.
Ta chỉ có điều này thôi $ab=1=ac$ ... cho nên phần lý luận tiếp theo của My sẽ không hợp lý.

#4
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Hii, ý e là do giả thiết nói rằng giả sử $a \in R$ bất kì có nhiều hơn một phần tử nghịch đảo phải (e g/s nó có 2 p.tử nđ là $b, c$)

Vì $b$ là nđ phải của $a$ nên ta có: $ab=a ,\,\,\,\,(1)$

Vì $c$ là nđ phải của $a$ nên ta có: $ac=a ,\,\,\,\,(2)$

Từ $(1), (2)$ e suy ra hệ thức đó í, vậy mình phải ghi thế nào hả anh?

Vành này là bất kì mà, vậy thì tại sao $ab=a=ac \Rightarrow b=c=1\,\, ?$ Chúng ta chỉ suy ra được điều này nếu biết rõ $a$ khả nghịch chứ anh?

#5
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
My xem lại phần tử nghịch đảo nhé ... phải là $ab=1$ , $ac=1$ chứ không phải $ab=a$ , $ac=a$ đâu.

#6
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Ò..., ò.. đúng rùi, em nhầm :lol: ! Cứ tưởng là đơn vị phải, hiii

#7
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
Mình post lời giải bài 1 luôn vậy @_^)

Giả sử $b,c$ là hai phần tử nghịch đảo phải phân biệt nhau của $a$

Khi đó ta có $ab=1=ac$ kéo theo $\forall k \in N , k \geq 1$ thì $a\left((k+1)b-kc\right)=(k+1)ab-kac=1$ , suy ra $(k+1)b-kc$ , $\forall k \in N , k \geq 1$ cũng là phần tử nghịch đảo phải của $a$

Chú ý : $(k+1)b-kc \neq (t+1)b-tc$ với $\forall k,t \in N , k \neq t$

Vậy $a$ có vố phần tử nghịch đảo phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 18-04-2012 - 18:14


#8
kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Mình post lời giải bài 1 luôn vậy @_^)

Giả sử $b,c$ là hai phần tử nghịch đảo phải phân biệt nhau của $a$

Khi đó ta có $ab=1=ac$ kéo theo $\forall k \in N , k \geq 1$ thì $a\left((k+1)b-kc\right)=(k+1)ab-kac=1$ , suy ra $(k+1)b-kc$ , $\forall k \in N , k \geq 1$ cũng là phần tử nghịch đảo phải của $a$

Chú ý : $(k+1)b-kc \neq (t+1)b-tc$ với $\forall k,t \in N , k \neq t$

Vậy $a$ có vố phần tử nghịch đảo phải


Cách giải này em hiểu, nhưng suy nghĩ mãi vẫn ko hiểu vì sao anh lại chọn được phần tử nghịch đảo $(k+1)b-kc$ để nhân bên phải phần tử $a$?

#9
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết
Lạ 2 người này ghê, người nữ thì hơn tuổi mà cứ xưng em ngọt sớt =))
Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh