Cho R là vành, giả sử $a \in R$ có nhiều hơn một phần tử nghịch đảo phải .Chứng minh rằng $a$ có vô số phần tử nghịch đảo phải.
#1
Đã gửi 07-04-2012 - 21:37
Bài toán 2 : Cho $D$ là vành chia, $K$ là tâm của $D$
Chứng minh rằng tâm của $D[x]$ là $K[x]$ , trong đó $D[x] , K[x]$ là các vành đa thức theo $x$ với hệ số thuộc vành tương ứng
Vành chia là vành mà các phần tử khác 0 đều khả nghịch
$K$ là tâm của $D$ tức là $K=\{x \in R \mid xy=yx , \forall y \in R \}$
- Dung Dang Do và kieumy thích
#2
Đã gửi 16-04-2012 - 06:58
Giả sử $a \in R$ có 2 phần tử nghịch đảo phải là $b, c$. Ta có:
$ab=a=ac \Rightarrow (ab)c=a \Rightarrow a(bc)=a$. Suy ra $bc$ cũng là nghịch đảo phái của $R$. Do đó: $R$ có vô số nghịch đảo phải.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kieumy: 16-04-2012 - 06:58
#3
Đã gửi 16-04-2012 - 11:04
Bài 1:
Giả sử $a \in R$ có 2 phần tử nghịch đảo phải là $b, c$. Ta có:
$ab=a=ac \Rightarrow (ab)c=a \Rightarrow a(bc)=a$. Suy ra $bc$ cũng là nghịch đảo phái của $R$. Do đó: $R$ có vô số nghịch đảo phải.
My viết rằng $ab=a=ac$ là không đúng ... nếu như vậy thì $b=c=1$ rồi.
Ta chỉ có điều này thôi $ab=1=ac$ ... cho nên phần lý luận tiếp theo của My sẽ không hợp lý.
- kieumy yêu thích
#4
Đã gửi 16-04-2012 - 14:48
Vì $b$ là nđ phải của $a$ nên ta có: $ab=a ,\,\,\,\,(1)$
Vì $c$ là nđ phải của $a$ nên ta có: $ac=a ,\,\,\,\,(2)$
Từ $(1), (2)$ e suy ra hệ thức đó í, vậy mình phải ghi thế nào hả anh?
Vành này là bất kì mà, vậy thì tại sao $ab=a=ac \Rightarrow b=c=1\,\, ?$ Chúng ta chỉ suy ra được điều này nếu biết rõ $a$ khả nghịch chứ anh?
#6
Đã gửi 18-04-2012 - 06:26
#7
Đã gửi 18-04-2012 - 18:07
Giả sử $b,c$ là hai phần tử nghịch đảo phải phân biệt nhau của $a$
Khi đó ta có $ab=1=ac$ kéo theo $\forall k \in N , k \geq 1$ thì $a\left((k+1)b-kc\right)=(k+1)ab-kac=1$ , suy ra $(k+1)b-kc$ , $\forall k \in N , k \geq 1$ cũng là phần tử nghịch đảo phải của $a$
Chú ý : $(k+1)b-kc \neq (t+1)b-tc$ với $\forall k,t \in N , k \neq t$
Vậy $a$ có vố phần tử nghịch đảo phải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 18-04-2012 - 18:14
#8
Đã gửi 20-04-2012 - 19:44
Mình post lời giải bài 1 luôn vậy @_^)
Giả sử $b,c$ là hai phần tử nghịch đảo phải phân biệt nhau của $a$
Khi đó ta có $ab=1=ac$ kéo theo $\forall k \in N , k \geq 1$ thì $a\left((k+1)b-kc\right)=(k+1)ab-kac=1$ , suy ra $(k+1)b-kc$ , $\forall k \in N , k \geq 1$ cũng là phần tử nghịch đảo phải của $a$
Chú ý : $(k+1)b-kc \neq (t+1)b-tc$ với $\forall k,t \in N , k \neq t$
Vậy $a$ có vố phần tử nghịch đảo phải
Cách giải này em hiểu, nhưng suy nghĩ mãi vẫn ko hiểu vì sao anh lại chọn được phần tử nghịch đảo $(k+1)b-kc$ để nhân bên phải phần tử $a$?
- L Lawliet yêu thích
#9
Đã gửi 21-04-2012 - 00:07
- dark templar, wallunint, Ispectorgadget và 11 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh