Chủ đề này có 234 trả lời

[hung0503]

Bài 28: Giải hệ phương trình:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + xy = 4y - 1 (1)\\
x + y = \frac{y}{{x^2 + 1}} + 2 (2)\\
\end{array} \right.
\]
(Đề thi thử lần 1-2012 THPT Tam Dương-Vĩnh Phúc)

$(1)x^2+1=y(4-x-y)$
$(2)x+y=\frac{1}{4-(x+y)}+2\Leftrightarrow x+y=3$
thay vào (1) $x=-2\vee x=1$

Bài 29: Giải hệ phương trình

\[
\left\{ \begin{array}{l}
1 + xy + \sqrt {xy} = x \\
\frac{1}{{x\sqrt x }} + y\sqrt y = \frac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt y \\
\end{array} \right.
\]
(Toán học tuổi trẻ số 4-2012).

Bài này mình làm cũng hơi lằng nhằng
Đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b(a> 0,b\geq 0)$
Hệ thành
$\left\{\begin{matrix}
1+a^2b^2+ab=a^2 & \\
\frac{1}{a^3}+b^3=\frac{1}{a}+3b &
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(\frac{1}{a}+b)^3-3\frac{b}{a}(\frac{1}{a}+b)=\frac{1}{a}+3b & \\
(\frac{1}{a}+b)^2-\frac{b}{a}=1&
\end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{a}+b=u,\frac{b}{a}=v$
Hệ thành
$\left\{\begin{matrix}
u(u^2-v)-2uv=u+2b(1) & \\
u^2-v=1(2)&
\end{matrix}\right.$
Thay (2) vào (1)
$\Leftrightarrow uv+2b=0\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+b)\frac{b}{a}+2b=0$
$\Leftrightarrow b=0(a> 0,b\geq 0)\Leftrightarrow y=0,x=1$

Bài 26:
Phần nâng cao Giải hệ phương trình $$\begin{cases}y^2+8xy-8x-2y+1=0(1)\\ (1+\log_2 x)\log_2 {(1-y)}+1=0(2) \end{cases}$$
Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An

Đk: $y<1, x>0$
$(1) (y-1)(y-1+8x)=0\Leftrightarrow 1-y=8x$
$(2)(1+log_{2}x)(3+log_{2}x)+1=0\Leftrightarrow log_{2}x=-2\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Bài 25: Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix}
\log_{2}x+3\sqrt{5-\log_{3}y}=5 \\
3\sqrt{\log_{2}x-1}-\log_{3}y=-1
\end{matrix}\right.$$
Đề thi thử ĐH Chuyên Hà Nội Amsterdam

Các bạn có thể tham khảo

Bài 23:Giải hệ phương trình
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\sqrt {5 - {{\log }_3}y} = 5 - {{\log }_5}x}\\{3\sqrt {{{\log }_5}x - 1} = {{\log }_3}y - 1}\end{array}} \right.\]
Đặt $log_{3}y=a, log_{5}x=b$. hệ trở thành
$\left\{\begin{matrix}
3\sqrt{5-a}=5-b(1) & \\
3\sqrt{b-1}=a-1(2)&
\end{matrix}\right.$
Đk: $1\leq a.b\leq 5$
Bình phương (1) và (2) rồi trừ theo vế, ta đc
$9(6-a-b)=(6-a-b)(4+a-b)$
Th1: $a+b=6$
(2) $3\sqrt{b-1}=5-b\Leftrightarrow b=2$
Th2: $ a-b=5$
(2)$3\sqrt{b-1}=4+b$ (VN)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 12-04-2012 - 20:48

[alex_hoang]

Bài 30:giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{4xy}}{{x + y}} = 1 + \sqrt {x + y + 5} }\\{\sqrt {x + y} = {x^2} - y}\end{array}} \right.\]
Đề thi thử ĐH-THPT Nam Đông Quan-Thái Bình

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Bài 30:giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{4xy}}{{x + y}} = 1 + \sqrt {x + y + 5} }\\{\sqrt {x + y} = {x^2} - y}\end{array}} \right.\]
Đề thi thử ĐH-THPT Nam Đông Quan-Thái Bình

Xét phương trình 2 , $ \sqrt {x + y} = {x^2} - y $ .
Đặt $ u=\sqrt{x+y} , u \geq 0 $ Ta được $ \left\{{\begin{array}\\ {u^2=x+y } \\{ x^2=u+y } \end{array}} \right. $
Đem trừ vế cho vế ta sẽ được $ (u-x)(u+x+1)=0 $
Do $ u+x+1 =0 $ vô nghiệm nên từ phương trình trên ta chỉ có $ u=x \rightarrow \sqrt{x+y}=x $
Từ đây ta có $ \left\{{\begin{array}\\ {x+y+5 =x^2+5} \\ { y=x^2-x } \end{array}} \right. ( x \geq 0 ) $
Xét phương trình 1 . Điều kiện $ x+y \neq 0 $ và $ x+y+5 \geq 0 $ . Từ những dữ kiện thu được ở trên thay vào phương trình 1 ta đươc $ 4(x-1)=1+\sqrt{x^2+5} \Leftrightarrow 4x-5=\sqrt{x^2+5} $
$ \Leftrightarrow \left\{{\begin{array} \\ {x \geq \frac{4}{5} } \\ { 3x^2-8x+4 =0 } \end{array} } \right. $
Giải ra ta sẽ được $ x=2 \Rightarrow y= 2 $
Giờ chỉ cần kết luận là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hoàng Lâm: 12-04-2012 - 22:51

[alex_hoang]

Bài 31:Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y=4 \\ x(x+y+1)+y(y+1)=2 \end{cases}$$
Đề thi thử Đại học khối A, B, D năm 2012 - lần 1 - trường THPT Hậu Lộc (Thanh Hóa)

[alex_hoang]

Bài 32:Giải phương trình
$$\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)^5+\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)^5=123$$
Đề thử của hocmai.vn

[yeukhoahoc94]

Bài 31:Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y=4 \\ x(x+y+1)+y(y+1)=2 \end{cases}$$
Đề thi thử Đại học khối A, B, D năm 2012 - lần 1 - trường THPT Hậu Lộc (Thanh Hóa)

Có hệ:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y=4 & \\ x(x+y+1)+y(y+1)=2 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y=4 & \\ x^{2}+xy+y^{2}+x+y=2 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+x+y=4 & \\ xy=-2& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2}+2xy+y^{2}+x+y=0& \\ xy=-2& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)(x+y+1)=0 & \\ xy=-2& \end{matrix}\right.$.......

[Trần Đức Anh @@]

Bài 32:Giải phương trình
$$\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)^5+\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)^5=123$$

Giải: Đặt $\sqrt{x^2+1}-x=a$ và $\sqrt{x^2+1}+x=b$ ta có: $a^5+b^5=123$ $(1)$
và $a^2b^2=1$ $(2)$.
Từ $(2)$, để ý rằng $a,b>0$ ta được: $a=\frac{1}{b}$, thế vào $(1)$ ta có: $\frac{1}{b^5}+b^5=123$ tương đương với: $b=\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})$ hoặc $b=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})$ Từ đây dễ dàng tìm ra $x$.

[alex_hoang]

Bài 33:Giải hệ phương trình. $$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2\sqrt{y} \\
\sqrt{x}+\sqrt{5y}=3
\end{matrix}\right.$$
Đề thi thử Đại học năm 2012 - trường THPT Quảng Xương 4 (Thanh Hoá)

Các bạn nên giải đến kết quả cuối cùng nhé

[alex_hoang]

Bài 34:Giải bất phương trình: $$2\left( {{x^2} + 2} \right) < 3\left( {2x + \sqrt {{x^3} + 8} } \right)$$
Đề thi thử đại học trường THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh II - 2012

[yeukhoahoc94]

Bài 33:Giải hệ phương trình. $$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2\sqrt{y} \\
\sqrt{x}+\sqrt{5y}=3
\end{matrix}\right.$$
Đề thi thử Đại học năm 2012 - trường THPT Quảng Xương 4 (Thanh Hoá)

Các bạn nên giải đến kết quả cuối cùng nhé

Đk: $\left\{\begin{matrix} x>0 & \\ y>0& \\ x\neq y & \end{matrix}\right.$
Thấy y=0 không là nghiệm của hệ
$\Rightarrow$ pt1$\Leftrightarrow \frac{x+y-(x-y)}{\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}}=2\sqrt{y}$ $\Leftrightarrow \sqrt{y}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} $
$\Leftrightarrow \sqrt{y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{x+y}$
$\Rightarrow y+x-y+2\sqrt{y(x-y)}=x+y$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{y(x-y)}=y $
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-y}=\sqrt{y} $
$\Rightarrow 4(x-y)=y \Leftrightarrow 5y=4x$
Thay vào pt2 được $\sqrt{x}+2\sqrt{x}=3 \Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=\frac{4}{5}$

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Bài 29: Giải hệ phương trình

\[
\left\{ \begin{array}{l}
1 + xy + \sqrt {xy} = x \\
\frac{1}{{x\sqrt x }} + y\sqrt y = \frac{1}{{\sqrt x }} + 3\sqrt y \\
\end{array} \right.
\]
(Toán học tuổi trẻ số 4-2012).

hình như mọi người bỏ quên mất bài này
đặt $ \frac{1}{\sqrt{x}}=a>0; \sqrt{y}=b \geq 0 $
thì hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix} 1+\frac{b^2}{a^2}+\frac{b}{a}=\frac{1}{a^2} & \\ a^3+b^3=a+3b & \end{matrix}\right.$

từ PT(1) ta có:

$ (1) \Leftrightarrow a^2+b^2+ab=1 $

$ \Leftrightarrow a^2+b^2=1-ab $

thế vào PT(2) ta dc:

$ (2) \Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=a+3b $

$ \Leftrightarrow (a+b)(1-2ab)=a+3b $

$ \Leftrightarrow -ab(a+b)=b $

$ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} b=0 (True)& \\ a(a+b)=-1 (false)& \end{bmatrix}$

với $ b=0 $ thì $ y=0 ; x=1 $

vậy hệ có nghiệm duy nhất là $ (1;0) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 13-04-2012 - 21:23

[alex_hoang]

Bài 35Giải phương trình
$(x^{2}+1)^{2}=5-x\sqrt{2x^{2}+4}, (x\epsilon R)$
Đề thi thử ĐH THPT Nguyễn Tất Thành-Yên Bái

[Ispectorgadget]

Bài 36: Giải hệ phương trình sau:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x^3 }}{y} - xy = 216 \\
xy - \frac{{y^3 }}{x} = 24 \\
\end{array} \right.
\]
Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị

[Sunflower2]

Bài 36:

Hệ phương trình đã cho tương đương với :

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^3}{y}=216+xy & & & \\ \frac{y^3}{x}=xy-24& & & \end{matrix}\right.$

Nhân từng vế 2 phương trình trên , ta có :

$(xy)^2=(xy+216)(xy-24)\Leftrightarrow xy=27$

Quay trở lại hệ ban đầu , ta có :

$\left\{\begin{matrix} x^4=6561 & & & \\ y^4=81 & & & \end{matrix}\right.$

. . .bla bla . . .lười quá , không mún gõ nốt . . .^^!

[hung0503]

Bài 35Giải phương trình
$(x^{2}+1)^{2}=5-x\sqrt{2x^{2}+4}, (x\epsilon R)$
Đề thi thử ĐH THPT Nguyễn Tất Thành-Yên Bái

Đặt $x^2=t$
Th1: $x\geq 0$
$pt\Leftrightarrow (t+1)^2=5-\sqrt{t(2t+4)}$
Bình phương 2 vế
$t=-1\pm \sqrt{3}\rightarrow x= \pm \sqrt{-1+\sqrt{3}}$

Th2:$x< 0$
$pt\Leftrightarrow (t+1)^2=5+\sqrt{t(2t+4)}$
$\Leftrightarrow t=-4\vee t=2\rightarrow x=\pm \sqrt{2}$

Thử lại: nghiệm $x=-\sqrt{2}, x=\sqrt{-1+\sqrt{3}}$

[alex_hoang]

Bài 36:Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{align}
\sqrt{3x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+y}+x-y=2 \\
{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+(y-1)x+y=2
\end{align} \right.$
Đề thi thử THPT Cổ Loa-Hà Nội

[dark templar]

Bài 37: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} 2^{2y-x}+2^{y}=2^{x+1} \\ \log_5{(x^2+3y+1)}-\log_5{y}=-2x^2+4y-1 \end{matrix}\right.$$

Đề thi thử của MathVN.com

[Sunflower2]

Bài 36:Giải hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{align}
\sqrt{3x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+y}+x-y=2 \\
{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+(y-1)x+y=2
\end{align} \right.$
Đề thi thử THPT Cổ Loa-Hà Nội

Luôn bài này , phương trình thứ 2 tương đương với :

$(x+1)(x^2+x-2+y)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 (False) & & & \\ y=2-x-x^2 & & & \end{bmatrix}$

Thế y vào phương trình (1) , ta có :

$\sqrt{3x+1}-\sqrt{2-x}+x^2+2x-4=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{2-x}+1}+x+3)=0$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y)=(1,0)

[alex_hoang]

Bài 38:Giải bất phương trình: $$\sqrt{20x^2+80x+105}\leq 2x+1+4\sqrt{3x+5}$$
Đề thi thử Trường Lương Thế Vinh- Hà Nội

[Sunflower2]

BÀi 37 :

Phương trình (1) tương đương với :

$1+2^{x-y}=2.(2^{x-y})^2$

$\Leftrightarrow 2^{x-y}=1\Leftrightarrow x=y$

Thế vào phương trình (2) , ta có :

$log_5(x^2+3x+1)-log_5x=-2x^2+4x-1$

$\Leftrightarrow log_5(x+\frac{1}{x}+3)=1-2(x-1)^2$

mà $VT\geq 1\geq VP$ nên phương trình có nghiệm x=1

Vậy nghieemjc ủa hệ phương trình là (x,y)=(1,1)