Giải
Đặt: $\left\{\begin{array}{l}A = \sqrt{x^2 - x + 1} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\B = \sqrt{x^2 + x + 1} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$Ta thấy:
$x^2 - 3x + 1 = 2(x^2 - x + 1 ) - (x^2 + x + 1) = 2A^2 - B^2$
$x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) = AB$
Do đó, BPT ban đầu trở thành:
$\sqrt{6}(2A^2 - B^2) + AB \leq 0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{6}A^2 + AB - \sqrt{6}B^2 \leq 0 \,\,\,\, (2)$
Do $B \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} > 0 \Rightarrow B^2 > 0$.
Chia hai vế của BPT (2) cho $B^2$, ta được:
$2\sqrt{6}(\dfrac{A}{B})^2 + \dfrac{A}{B} - \sqrt{6} \leq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{- \sqrt{6}}{3} \leq \dfrac{A}{B} \leq \dfrac{\sqrt{6}}{4}$
Vì $A, B > 0 \Rightarrow \dfrac{A}{B} > 0 > \dfrac{- \sqrt{6}}{3}$
Do đó, ta chỉ cần tìm các giá trị x thỏa mãn:
$\dfrac{A}{B} = \sqrt{\dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}}\leq \dfrac{\sqrt{6}}{4}$
BPT trên tương đương:
$\dfrac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} \leq \dfrac{3}{8} $
$\Leftrightarrow 8(x^2 - x + 1) \leq 3(x^2 + x + 1) \Leftrightarrow 5x^2 - 11x + 5 \leq 0$
$\Leftrightarrow \dfrac{11 - \sqrt{21}}{10} \leq x \leq \dfrac{11 + \sqrt{21}}{10}$
