Chủ đề này có 3 trả lời

[kieumy]

Nhờ các anh xem giúp cách giải của em có đúng ko? (tại em đọc thấy lời giải nó dài dòng quá, mà em tự làm thì thấy "gọn" quá nên ...nghi ngờ mình bị sai )

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:

a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Lời giải của em:

a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.

Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:

$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$

Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.

$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:

$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kieumy: 10-04-2012 - 08:21

[CD13]

Anh thấy đoạn
.........
$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$
Em giải thích là do $H$ là nhóm con của $G$. Nhưng theo anh thấy, dù $H$ là con $G$ thì $h_2k_2 \neq k_2h_2$.

[D ZeR0 Stavjna]

a) Cho $H\triangleleft G,K\leq G$ Khi đó $HK\leq G$ vì:
-e=ee$\in HK$
-$\forall$ h₁,h₂ $\in$ H, $\forall$ k₁,k₂ $\in$ K , (h₁k₁)^-1(h₂k₂)=(k₁^-1h₁^-1k)(k₁^-1h₂k₁)(k₁^-1k₂) $\in$ HK

b) Theo câu a) HK$\leq$G, hơn nữa:
$\forall x$ $\in$ G ,x^-1(HK)x=(x^-1Hx)(x^-Kx) = HK
do đó HK $\triangleleft$ G

Đây là bài giải của mình cho đề bài này.

[KhuongHoangTuong]

Nhờ các anh xem giúp cách giải của em có đúng ko? (tại em đọc thấy lời giải nó dài dòng quá, mà em tự làm thì thấy "gọn" quá nên ...nghi ngờ mình bị sai )

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:

a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Lời giải của em:

a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.

Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:

$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$

Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.

$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:

$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

 

 

Nhờ các anh xem giúp cách giải của em có đúng ko? (tại em đọc thấy lời giải nó dài dòng quá, mà em tự làm thì thấy "gọn" quá nên ...nghi ngờ mình bị sai )

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:

a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Lời giải của em:

a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.

Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:

$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$

Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.

$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:

$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Khi bạn viết dòng này $(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

 

mình nghĩ bạn nên xem lại định nghĩa của nhóm con chuẩn tắc.