Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:
a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$
b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$
Lời giải của em:
a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.
Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:
$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)
$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$
Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$
b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.
$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:
$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kieumy: 10-04-2012 - 08:21