Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR: a) Nếu $H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 kieumy

kieumy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 10-04-2012 - 07:14

Nhờ các anh xem giúp cách giải của em có đúng ko? (tại em đọc thấy lời giải nó dài dòng quá, mà em tự làm thì thấy "gọn" quá nên ...nghi ngờ mình bị sai :icon6: )

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:

a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Lời giải của em:

a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.

Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:

$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$

Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.

$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:

$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kieumy: 10-04-2012 - 08:21


#2 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1454 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-05-2012 - 08:28

Anh thấy đoạn
.........
$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$
Em giải thích là do $H$ là nhóm con của $G$. Nhưng theo anh thấy, dù $H$ là con $G$ thì $h_2k_2 \neq k_2h_2$.

#3 D ZeR0 Stavjna

D ZeR0 Stavjna

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-05-2012 - 12:09

a) Cho $H\triangleleft G,K\leq G$ Khi đó $HK\leq G$ vì:
-e=ee$\in HK$
-$\forall$ h1,h2 $\in$ H, $\forall$ k1,k2 $\in$ K , (h1k1)-1(h2k2)=(k1-1h1-1k)(k1-1h2k1)(k1-1k2) $\in$ HK

b) Theo câu a) HK$\leq$G, hơn nữa:
$\forall x$ $\in$ G ,x-1(HK)x=(x-1Hx)(x-Kx) = HK
do đó HK $\triangleleft$ G

Đây là bài giải của mình cho đề bài này.

#4 KhuongHoangTuong

KhuongHoangTuong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 19-05-2013 - 15:41

Nhờ các anh xem giúp cách giải của em có đúng ko? (tại em đọc thấy lời giải nó dài dòng quá, mà em tự làm thì thấy "gọn" quá nên ...nghi ngờ mình bị sai :icon6: )

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:

a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Lời giải của em:

a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.

Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:

$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$

Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.

$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:

$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

 

 

Nhờ các anh xem giúp cách giải của em có đúng ko? (tại em đọc thấy lời giải nó dài dòng quá, mà em tự làm thì thấy "gọn" quá nên ...nghi ngờ mình bị sai :icon6: )

Cho $H \leq G, K \leq G$, CMR:

a) Nếu $ H \triangleleft G \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Nếu $ H, K \triangleleft G \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Lời giải của em:

a) Hiển nhiên $HK \neq \left\{\varnothing\right\}$ và $HK \subset G$.

Lấy $ h_1k_1, h_2k_2 \in HK$ ($h_1, h_2 \in H; k_1, k_2 \in K$), ta có:

$(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

$=(h_1k_1){h_2}^{-1}{k_2}^{-1}=h_1({h_2}^{-1}k_1){k_2}^{-1}=(h_1{h_2}^{-1})(k_1{k_2}^{-1}) \in HK$

Do đó: $ \Longrightarrow HK \leq G.$

b) Theo câu a) ta đã có $HK \leq G$, ta chỉ cần kiểm tra thêm điều kiện chuẩn tắc của $HK$.

$\forall x \in G, hk \in HK (h \in H, k \in K)$, ta có:

$x(hk)x^{-1}=(xh)(k{x}^{-1})=(hx)(x^{-1}k)=hk \in HK \Longrightarrow HK \triangleleft G.$

Khi bạn viết dòng này $(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1}=(h_1k_1)(k_2h_2)^{-1}$ (vì $ H \triangleleft G$)

 

mình nghĩ bạn nên xem lại định nghĩa của nhóm con chuẩn tắc.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh