Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-04-2012 - 11:55
Chứng minh $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{100}$ không là số tự nhiên
Bắt đầu bởi minhduc2000, 10-04-2012 - 11:12
#1
Đã gửi 10-04-2012 - 11:12
Chứng minh $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{100}$ không là số tự nhiên.
- nguyenta98 yêu thích
#2
Đã gửi 10-04-2012 - 13:27
Gom số đầu và cuối lại
$S=\left (\frac{1}1{}+\frac{1}{100} \right )+\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{99} \right )+...$
$=\frac{101}{1.100} +\frac{101}{2.99}+...$
$=101.\left ( \frac{1}{1.100}+\frac{1}{2.99}+... \right )$
$=\frac{101a}{1.2.3.4...100}$ (quy đồng, đặt a bằng tử số của tổng trong ngoặc)
để S là số tự nhiên thì $101a$ phải chia hết cho $1.2.3..100$.
Mà $101$ là số nguyên tố, nên $(101,k)=1$ với $k=1,2,..,100$.
Do đó $101a$ phải chia hết cho $1.2.3..100$ tương đương $a$ phải chia hết cho $1.2.3..100$
a tất nhiên nhỏ hơn $1.2.3..100$ (do tổng đó bé hơn 1) nên suy ra a không chia hết cho $1.2.3..100$.
Vậy S ko thể là số tự nhiên
$S=\left (\frac{1}1{}+\frac{1}{100} \right )+\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{99} \right )+...$
$=\frac{101}{1.100} +\frac{101}{2.99}+...$
$=101.\left ( \frac{1}{1.100}+\frac{1}{2.99}+... \right )$
$=\frac{101a}{1.2.3.4...100}$ (quy đồng, đặt a bằng tử số của tổng trong ngoặc)
để S là số tự nhiên thì $101a$ phải chia hết cho $1.2.3..100$.
Mà $101$ là số nguyên tố, nên $(101,k)=1$ với $k=1,2,..,100$.
Do đó $101a$ phải chia hết cho $1.2.3..100$ tương đương $a$ phải chia hết cho $1.2.3..100$
a tất nhiên nhỏ hơn $1.2.3..100$ (do tổng đó bé hơn 1) nên suy ra a không chia hết cho $1.2.3..100$.
Vậy S ko thể là số tự nhiên
- perfectstrong, nguyenta98, nth1235 và 2 người khác yêu thích
Anh mong tìm thấy một khoảng rõ ràng
Hy vọng có nghiệm tình em trong đó
Đôi mắt em là phương trình bỏ ngỏ
Rèm mi cong nghiêng một góc Alpha
Anh nhìn em tưởng giới hạn đã nhoà !
Nhưng than ôi ! Toạ độ tình vụt tắt
Anh thẫn thờ về trong hiu hắt
Nhận ra mình chỉ phận nghiệm ngoại lai
Thế mà anh cứ ngỡ mình Y max
Nước mắt rơi hay đồ thị tuôn dài ?
Anh mãi chôn hồn mình trong đơn điệu
Trong không gian ảo vọng khối đa chiều
Giới hạn ấy làm sao nhoà em nhỉ ?
Suốt đời mình chỉ tiệm cận mà thôi...
Hy vọng có nghiệm tình em trong đó
Đôi mắt em là phương trình bỏ ngỏ
Rèm mi cong nghiêng một góc Alpha
Anh nhìn em tưởng giới hạn đã nhoà !
Nhưng than ôi ! Toạ độ tình vụt tắt
Anh thẫn thờ về trong hiu hắt
Nhận ra mình chỉ phận nghiệm ngoại lai
Thế mà anh cứ ngỡ mình Y max
Nước mắt rơi hay đồ thị tuôn dài ?
Anh mãi chôn hồn mình trong đơn điệu
Trong không gian ảo vọng khối đa chiều
Giới hạn ấy làm sao nhoà em nhỉ ?
Suốt đời mình chỉ tiệm cận mà thôi...
#3
Đã gửi 18-04-2012 - 18:58
Ta cũng có thể dùng Casio fx-570ES hoặc fx-570ESplus để giải bài tập này bằng công thứcChứng minh $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{100}$ không là số tự nhiên.
$\sum\limits_{x = 1}^{100} {\frac{1}{X}} $
- nguyenta98 và minhduc2000 thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#4
Đã gửi 23-04-2012 - 20:24
$$A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.............+\frac{1}{100}$$
Để quy đồng mẫu các phân số trong tổng $ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.............+\frac{1}{100} $ ta chọn mẫu chung là tính của $2^6$ với các thừa só lẻ nhỏ hơn 100.
Gọi $k_1;k_2;k_3;...................;k_{100}$ là các thừa số phụ tương ứng, tông A có dạng.
$B=\frac{k_1+k_2+k_3+.............+k_{100}}{2^6.3.5.7.....99} $.
Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số $\frac{1}{64}$ có mẫu chứa $2^6$ nên trong các thừ số phụ $ k_1;k_2;k_3;.......;k_{100} $ chỉ có $ k_{64} $( thừ số phụ $ \frac{1}{64} $) là số lẻ(=3.5.7.....49), còn các thừ số phụ khắc đều chẵn ( chưa ít nhất 1 thừ số 2). Phân số B có mẫu chia hết cho 2, tử không chia hết cho 2, do đó B không phải STN hay A không phải số tự nhiên.
Để quy đồng mẫu các phân số trong tổng $ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+.............+\frac{1}{100} $ ta chọn mẫu chung là tính của $2^6$ với các thừa só lẻ nhỏ hơn 100.
Gọi $k_1;k_2;k_3;...................;k_{100}$ là các thừa số phụ tương ứng, tông A có dạng.
$B=\frac{k_1+k_2+k_3+.............+k_{100}}{2^6.3.5.7.....99} $.
Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số $\frac{1}{64}$ có mẫu chứa $2^6$ nên trong các thừ số phụ $ k_1;k_2;k_3;.......;k_{100} $ chỉ có $ k_{64} $( thừ số phụ $ \frac{1}{64} $) là số lẻ(=3.5.7.....49), còn các thừ số phụ khắc đều chẵn ( chưa ít nhất 1 thừ số 2). Phân số B có mẫu chia hết cho 2, tử không chia hết cho 2, do đó B không phải STN hay A không phải số tự nhiên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi reddevil123: 23-04-2012 - 20:29
- perfectstrong yêu thích
________________________nản______________________
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh