Bài 2 :
Tìm GTNN của hàm số $f(x;y)=5\left | x \right |-3\left | y \right |$ trên tập hợp các nghiệm nguyên của PT $4x+5y=7$
Ta gọi tập giá trị của hàm số $f(x;y)$ là : $D=\left \{ (x,y):x,y\epsilon Z ; 4x+5y=7 \right \}$
Xét PT $4x+5y=7 ( x,y\epsilon Z)$ :
Dễ thấy PT phải có nghiệm $x\neq 0, y\neq 0$ và hai nghiệm $x,y$ phải trái dấu
Khi đó :
gọi $D_{1}=\left \{ (x,y) : x,y\epsilon Z; x> 0, y< 0; 4x+5y=7\right \}$
$D_{2}=\left \{ (x,y) : x,y\epsilon Z; x< 0, y> 0; 4x+5y=7\right \}$
$\Rightarrow D=D_{1}\cup D_{2}$
Từ PT :
$4x+5y=7\Rightarrow x=\frac{7-5y}{4}= 2-y-\frac{1+y}{4}\epsilon Z$
$\Leftrightarrow 1+y=4t, (t\epsilon Z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=4t-1 & \\ x=3-5t & \end{matrix}\right.$
_Nếu $x,y \epsilon D_{1}$ thì $f(x,y)=5x+3y= 12-13t$
Mà $\left\{\begin{matrix} x> 0 & \\ y< 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3-5t> 0 & \\ 4t-1< 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow t< \frac{1}{4}$
Do $t\epsilon Z$ nên $t=0; -1;-2;...$
Vậy $min f(x,y)=12 \Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x=3, y=4 (1)$
_Nếu $x,y\epsilon D_{2}$ thì $f(x,y)= -5x-3y= 13t-12$
Mà $\left\{\begin{matrix} x< 0 & \\ y> 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3-5t< 0 & \\ 4t-1> 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow t> \frac{3}{5}$
Do $t\epsilon Z$ nên $t= 1;2;...$
Vậy $min f (x,y)=1\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=-2; y=3 (2)$
Từ $(1) $ và $(2)$ suy ra $min f (x,y)=1\Leftrightarrow x=-2; y=3$