C2:Bài 3: Đặt $x=y+d (d \in N*)$
Ta có: $$(y+d)^3-y^3=(y+d)y+8$$
$\iff y^2(3d-1)+y(3d^2-d)-8+d^3=0 (1)$
Chú ý: Với mọi $d\in Z$ thì $3d-1\neq 0$
Do đó phương trình (1) có nghiệm $\iff \Delta \ge 0$ hay $(3d^2-d)^2-4(4d-1)(d^3-8) \ge 0$
$$\iff -96d -3d^4-2d^3-d^2-32 \ge 0$$
$$\iff 96d+3d^4-2d^3-d^2+32 \le 0$$
$$\iff (x- \frac{1}{3})(3x^3+3x^2-96)\le 0$$
Nếu $x\geq 3$ thì $ (x- \frac{1}{3})(3x^3+3x^2-96)\geq 32>0$ suy ra phương trình (1) vô nghiệm.
Đễ (1) có nghiệm thì $1 \le d \le 2$. Kiểm tra thì thấy phương trình có nghiệm nguyên khi $d=2$ khi đó $y=-2$ hoặc $y=0$
Vậy nghiệm của phương trình là $\boxed {(x;y)=(-2;0);(0;-2)}$
Từ đây tìm được nghiệm như trên.ta có phương trình tương đương
$$|x-y||x^2+xy+y^2|=|xy+8|$$
Dễ thấy $x=y$ ko fải là nghiệm nên $x\neq
y$
Because
$$x,y \in \mathbb{Z} \to |x-y|\ge 1\to x^2+y^2+xy \le |xy+8|$$
Bây giờ chúng ta đi xét 2 trường hợp
$$\boxed{TH1}:xy+8 <0 ;\boxed{TH2}:xy+8 \ge0$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-04-2012 - 15:17