Chủ đề này có 63 trả lời

[ToanHocLaNiemVui]

Mọi ngươi thử sức 1 bài nữa nha:
Cho PT: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=\alpha x^{2}y^{2}z^{2}$ (1).
CMR: PT có nghiệm nguyên dương khi chỉ khi $\alpha=1$ hoặc $\alpha=2$.

[L Lawliet]

Hiện tại còn những bài sau đây chưa được giải mong các bạn tích cực tham gia và đưa ra lời giải cho những bài ấy:
Bài 1, 4, 6, 11, 17, 21, 22

[tieulyly1995]

Bài 23:
Tìm nghiệm nguyên của PT :
$x^{2010}+y^{2010}= 2012^{2010}$

Bài 24:
Tìm nghiệm nguyên dương của PT :
$y^{2}=x^{2}(x^{2}+x+1)+(x+1)^{2}$

Bài 25:
Tìm nghiệm nguyên của PT :
$\frac{11}{5}x-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2$

Bài 26 :
Tìm nghiệm nguyên dương của PT :
$x^{2y}+(x+1)^{2y}=(x+2)^{2y }$

p/s : các bạn post bài nhớ đánh số thứ tự, tránh trùng lặp nhé .
Mọi người tích cực tham gia lên nào

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 23-04-2012 - 02:33

[MIM]

Bài 23:
Tìm nghiệm nguyên của PT :
$x^{2010}+y^{2010}= 2012^{2010}$

[MIM]

Bài 25:
Tìm nghiệm nguyên của PT :
$\frac{11}{5}x-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2$

Vì bình phương của mọi số nguyên đều không có dạng $4k+3,k\in \mathbb{Z}$ nên với mọi $y\in \mathbb{Z}$ thì $\sqrt{4y-1}$ đều là số vô tỉ.

$\frac{11}{5}x-\sqrt{2x+1}=3y-\sqrt{4y-1}+2$

$\Leftrightarrow 3y+2-\frac{11x}{5}=\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1}$

Vế phải là số hữu tỉ, mặc khác $\sqrt{4y-1}$ là số vô tỉ, do đó để phương trình có nghiệm thì:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1}=0 \\ 3y+2-\frac{11x}{5}=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=5\\ y=3 & \end{matrix}\right.$

[hoangtrong2305]

Bài 26 :
Tìm nghiệm nguyên dương của PT :
$x^{2y}+(x+1)^{2y}=(x+2)^{2y }$

Theo định lý $Fermat$ lớn và theo yêu cầu đề bài thì $0\leq 2y\leq 2$

$\Leftrightarrow 0\leq y\leq 1$

$\Rightarrow y=1$

Thay vào phương trình thành:

$x^{2}+(x+1)^{2}=(x+2)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}+x^{2}+2x+1=x^{2}+4x+4$

$\Leftrightarrow x^{2}-2x-3=0$

$\Rightarrow x=3$

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:

$$\boxed{(3;1)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 21-04-2012 - 17:21

[ToanHocLaNiemVui]

Mọi ngươi thử sức 1 bài nữa nha:
Cho PT: $x^{3}+y^{3}+z^{3}=\alpha x^{2}y^{2}z^{2}$ (1).
CMR: PT có nghiệm nguyên dương khi chỉ khi $\alpha=1$ hoặc $\alpha=2$.

Topic tích cực lên đi, ae cố lên nào.....

Ta giả sử $x \ge y \ge z$, nên $3x^3 \geq x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$, do đó
$x \geq \dfrac{ny^2z^2}{3}$. Vì $x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$ nên $z^3+y^3 \vdots x^2$, cho nên
$2y^3 \geq y^3+z^3 \geq x^2 \geq \dfrac{n^2y^4z^4}{9}$.

Nếu $z>1$ thì $y \leq \dfrac{18}{16n^2}$ nên $y=1$, mà $y \geq z$, vô lí.

Nếu $z=1$ thì $y^3+1 \geq \dfrac{n^2y^4}{9}$, nên $9+\dfrac{9}{y^3} \geq n^2y$.
_ Với $y=1$ thì $x^3+2=nx^2$, nên nghiệm của phương trình là $(x,y,z,n)=(1,1,1,3)$. $(2 \vdots x^2 \Rightarrow x=1)$ nên $n=3$ thỏa mãn.
_ Với $y>1$ thì $10 \geq n^2y$, cho nên

Xét các trường hợp $n \in \{ 1;2;3 \}$ rồi từ đó suy ra với $n=1$ và $n=3$ thì phương trình có nghiệm nguyên dương.

P/s: Mong mọi người góp ý.

[khanh3570883]

Bài 1:
Tìm GTNN của hàm số $f(x;y)=-2x^{2}+5xy+y$ trên miền $D=\left \{ (x;y): x,y \epsilon Z^{+}; 8x-7y=21 \right \}$

Ta có:
$8x - 7y = 21$
$ \Rightarrow y = \frac{{8x - 21}}{7} \Rightarrow x \vdots 7 \Rightarrow x = 7t\left( {t \in {Z^ + }} \right)$
$ \Rightarrow 8t - y = 3 \Rightarrow t = \frac{{y + 3}}{8} \Rightarrow y \equiv 5\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow y = 8m + 5\left( {m \in {Z}} \right)$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 7t \\
y = 8m + 5 \\
t - m = 1 \\
\end{array} \right.$
Thay vào hàm $f\left( {x;y} \right)$ ta được hàm:
$g\left( t \right) = 182{t^2} - 97t - 3$
Do $t \in {Z^ + }$ nên $\min g\left( t \right) = 82$ khi t = 1 $ \Rightarrow m = 0$ hay $x = 7$ và $y = 5$

[tieulyly1995]

Khó thêm một chút nào
Bài 27 :
CMR phương trình :
$19x^{2}+5y^{9}+1890z^{1945}=t^{1993}$
có vô hạn nghiệm nguyên dương

Bài 28:
Tìm nghiệm nguyên dương của PT :
a) $1!+2!+3!+...+(x+1)!=y^{z+1}$
b) $1!+3!+...+(2x+1)!=y^{z+1}$
c) $2!+4!+...+(2x)!=y^{z+1}$

Bài 29:
Tìm nghiệm nguyên của PT : $3^{x}+4^{y}= 5^{z}$

Bài 30 :
Tìm nghiệm nguyên dương : $x^{y^{x}}= y^{x^{y}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 28-04-2012 - 02:11

[khanh3570883]

Bài 29:
Tìm nghiệm nguyên của PT : $3^{x}+4^{y}= 5^{z}$

Xét theo modulo 3
${5^z} \equiv {\left( { - 1} \right)^z}\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {4^y} \equiv {\left( { - 1} \right)^z}\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow z = 2h$
$ \Rightarrow \left( {{5^h} - {2^y}} \right)\left( {{5^h} + {2^y}} \right) = {3^x}$
Do ${5^h} - {2^y}$ và ${5^h} + {2^y}$ không đồng thời chia hết cho 3 nên:
$\left\{ \begin{array}{l}
{5^h} + {2^y} = {3^x} \\
{5^h} - {2^y} = 1 \\
\end{array} \right.$
Ta có: ${5^h} + {2^y} \equiv {\left( { - 1} \right)^h} + {\left( { - 1} \right)^y} = 0\left( {\bmod 3} \right)$ và ${5^h} - {2^y} \equiv {\left( { - 1} \right)^h} - {\left( { - 1} \right)^y} = 1\left( {\bmod 3} \right)$ $ \Rightarrow $ h lẻ, y chẵn
Nếu y > 2 thì ${5^h} + {2^y} \equiv 1\left( {\bmod 4} \right) \Rightarrow {3^x} \equiv 1\left( {\bmod 4} \right) \Rightarrow {3^x} \equiv 1\left( {\bmod 8} \right)$
Ta có: $5 \equiv {5^h} + {2^y}\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow 5 \equiv {3^x}\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow 5 \equiv 1\left( {\bmod 8} \right)$ (vô lý)
Do đó y = 2, suy ra z = 2, x = 2

[khanh3570883]

Bài 4 :
Giải hệ PT : $\left\{\begin{matrix} 3x-5y-3z=1 & \\ 2x-3y+3z=3 & \end{matrix}\right.$

Không hiểu đề lắm, nếu đề chỉ có thế này thì phương trình này vô số nghiệm

Bài 6:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$\sqrt{x-2\sqrt{3}}=\sqrt{y}-\sqrt{z}$$

Ta có:
$\begin{array}{l}
\sqrt {x - 2\sqrt 3 } = \sqrt y - \sqrt z \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y \ge z \\
x - y - z = 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt {yz} } \right)(*) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
VT của (*) nguyên, suy ra VP của (*) nguyên, suy ra:
$\sqrt {yz} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 3 \\
z = 1 \\
\end{array} \right.$
Thay vào phương trình ta được $x = 4$

[khanh3570883]

Bài 11:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$|x-y|+|y-z|+|z-x|=2013$$

Do vai trò của x, y, z là như nhau nên ta giả sử $x \ge y \ge z$, phương trình trở thành:
$2\left( {x - z} \right) = 2013$
Do 2013 không chia hết cho 2 nên phương trình vô nghiệm.

[L Lawliet]

Do vai trò của x, y, z là như nhau nên ta giả sử $x \ge y \ge z$, phương trình trở thành:
$2\left( {x - z} \right) = 2013$
Do 2013 không chia hết cho 2 nên phương trình vô nghiệm.

Cách khác:
$$|x-y|+|y-z|+|z-x|=2013$$
$$\Leftrightarrow (|x-y|+x-y)+(|y-z|+y-z)+(|z-x|+z-x)=2013$$
Nếu:
$x\geq y\Rightarrow |x-y|+x-y=2(x-y)$ là số chẵn
$x\leq y\Rightarrow |x-y|+x-y=0$ là số chẵn
Chứng minh tương tự ta thấy VT của phương trình là số chẵn còn VP là số lẻ vậy ta có ĐPCM

[L Lawliet]

Hâm nóng lại topic này nào, trước hết cùng ôn lại những bài cơ bản đã nhé
Bài 31:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$7(x^2+xy+y^2)=39(x+y)$$
Bài 32:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$x^3-y^3=xy+8$$
Bài 33:
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
$$12x+2013y=12.2013$$
Nâng độ khó lên
Bài 34:
Cho phương trình $7y^2-6x^2=x-y$, trong đó x và y là các số nguyên dương và x>y.
a) Gọi d là ƯCLN(x; y). CMR: $x-y=d^2$.
b) CMR khi d nhỏ nhất thì x, y nhỏ nhất. Từ đó tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình trên.
Bài 35:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$x^3-y^3=xy+8$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 09-05-2012 - 20:13

[NLT]

Bài 35:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$x^3-y^3=xy+8$$

SOLUTION:
Đặt a=x-y ; b=xy. Phương trình đã cho được viết lại là:
$ \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = xy + 8 $
$ \Leftrightarrow a\left( {{a^2} + 3b} \right) = b + 8 \Leftrightarrow {a^3} - 8 = - b\left( {3a - 1} \right) $
$ \to {a^3} - 8\,\, \vdots \,\,3a - 1 \to 27{a^3} - 216 \vdots 3a - 1 $
Mặt khác:$ 27{a^3} - 1 \vdots 3a - 1 $ nên $ 215 \vdots 3a - 1 $
Đến đây thì hoàn toàn đơn giản rồi nhé ! Ta dễ dàng tìm được a,b và từ đó suy ra x,y.
--------------
P/S: Mọi người hâm nóng topic này lại nào !

[L Lawliet]

SOLUTION:
Đặt a=x-y ; b=xy. Phương trình đã cho được viết lại là:
$ \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = xy + 8 $
$ \Leftrightarrow a\left( {{a^2} + 3b} \right) = b + 8 \Leftrightarrow {a^3} - 8 = - b\left( {3a - 1} \right) $
$ \to {a^3} - 8\,\, \vdots \,\,3a - 1 \to 27{a^3} - 216 \vdots 3a - 1 $
Mặt khác:$ 27{a^3} - 1 \vdots 3a - 1 $ nên $ 215 \vdots 3a - 1 $
Đến đây thì hoàn toàn đơn giản rồi nhé ! Ta dễ dàng tìm được a,b và từ đó suy ra x,y.
--------------
P/S: Mọi người hâm nóng topic này lại nào !

Đây còn là 1 cách giải khác hay hơn cho bài 18 , tks Thịnh ủng hộ topic

[MIM]

Bài 36: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $\overline{abc}=a^3+b^3+c^3$
Bài này trên VMF ta đã có nhưng chưa có lời giải..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 10-05-2012 - 17:55

[ToanHocLaNiemVui]

Bài 36: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $\overline{abc}=a^3+b^3+c^3$

Không đỡ được, Mở rộng ở đây: http://diendantoanho...showtopic=72151
Lời giải:
Xét $a=1$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=99+10b+c\leq 99+90+9=198 \to 0 \leq b,c \leq 5$.
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-99=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-108=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-111=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-102=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-75=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $(c-3)(c^2+3c+8)=0$. Suy ra $c=3$
Xét $a=2$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=192+10b+c\leq 192+90+9=291 \to 0 \leq b,c \leq 6$.
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-192=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-201=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-204=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-195=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-168=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-117=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-36=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Xét $a=3$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=273+10b+c\leq 273+90+9=372 \to 0 \leq b,c \leq 7$.
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-273=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-282=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-285=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-276=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-249=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-198=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-117=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=0$ thì $c(c+1)(c-1)=0$. Suy ra $c=0$ hoặc $c=1$
Xét $a=4$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=336+10b+c\leq 336+90+9=435 \to 0 \leq b,c \leq 7$.
Nếu $b=0$ thì $(c-7)(c^2+7c+48)=0$. Suy ra $c=7$
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-273=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-345=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-348=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-339=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-261=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-180=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-63=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Xét $a=5$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=375+10b+c\leq 375+90+9=474 \to 0 \leq b,c \leq 7$.
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-375=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-384=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-387=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-378=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-351=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-300=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-219=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-102=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Xét $a=6$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=384+10b+c \to 9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-384 \to b$ chẵn.
$b^3+c^3=384+10b+c \leq 483$ suy ra $0 \leq b \leq 7$
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-384=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-396=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-360=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-228=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Xét $a=7$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=357+10b+c\leq 357+90+9=456 \to 0 \leq b,c \leq 7$.
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-357$ suy ra $b$ lẻ
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-366=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-360=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-282=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=7$ thì $c^3-c-84=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Xét $a=8$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=288+10b+c\leq 288+90+9=387 \to 0 \leq b,c \leq 7$.
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-288$ suy ra $b$ chẵn
Nếu $b=0$ thì $c^3-c-288=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=2$ thì $c^3-c-300=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=4$ thì $c^3-c-264=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=6$ thì $c^3-c-132=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Xét $a=9$. Khi đó ta có: $b^3+c^3=171+10b+c\leq 171+90+9=270 \to 0 \leq b,c \leq 6$.
Cũng từ đó ta có: $9b=(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)-171$ suy ra $b$ lẻ
Nếu $b=1$ thì $c^3-c-180=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=3$ thì $c^3-c-174=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Nếu $b=5$ thì $c^3-c-96=0$. PT này không có nghiệm nguyên
Tóm lại, ta tìm được $(a,b,c)=(1,5,3);(3,7,0);(3,7,1);(4,0,7)$
Thử lại thấy thỏa mãn

Tổng quát của bài toán này:
$$\overline{a_1a_2...a_n}=a_1^n+a_2^n+...+a_n^n$$
Giải như sau:
$$\overline{a_1a_2...a_n}\geq 10^{n-1} \rightarrow a_1^n+...+a_n^n\geq 10^{n-1}<1>$$
Mặt khác
$$a_1^n+...+a_n^n\le 9^n.n <2>$$
Từ $<1><2>$ suy ra $9^n.n\geq 10^{n-1}<*>$
Nhận thấy $<*>$ gọi tạm là hàm số học đồng biến nhưng sau đó nghịch biến, có nghĩa là $n$ đến một thời điểm nào đó $9^n.n<10^{n-1}$ kể từ đó $n$ tăng thì $<*>$ không còn đúng, đó cũng là lí do tại sao bài toán này chỉ đến một giới hạn đúng, kể từ lúc nào đó sẽ không còn đúng.
Nhận thấy $9^{61}.61<10^{60}$ (theo http://www.wolframal...^61%29*61-10^60)
Do đó bài toán tổng quát không còn đúng với $n=61$
Ta sẽ cm không còn đúng với $n\geq 61$
$n=61$ đúng
Giả sử $n=k$ đúng hay $9^k.k<10^{k-1}$
Ta sẽ cm $n=k+1$ đúng hay $9^{k+1}.(k+1)<10^k$
Thật vậy do GTQN suy ra
$$10^{k-1}>9^k.k \rightarrow 10^k>9^k.k.10=9^{k+1}.(k.\dfrac{10}{9})>9^{k+1}.(k+1)$$
Do $k\geq 9$ thì $k.\dfrac{10}{9}\geq k+1$
Do đó bài toán không đúng với $n\geq 61$
Còn $n<61$ thì nghiệm phụ thuộc vào các chuyên gia lập trình thôi ta chỉ có khả năng làm TH đơn giản như $n=1,2,3,4,5$

P/S:Như vậy về căn bản bài toán tổng quát được giải, điều đó chứng tỏ phương trình trên chỉ có hữu hạn nghiệm đây cũng là một kiến thức quan trọng trong lý thuyết số, ngoài ra $n=60$ vẫn có thể đúng http://www.wolframal...^60%29*60-10^59

[truclamyentu]

Lời giải mang phong cách casio quá ,nhưng có lẽ không có cách khác
Tiếp tục ,Bài 37 : Giải phương trình nguyện nguyên dương :

$a^3+b^3+c^3=abc$

Bài 38 :Tìm các nghiệm nguyên (x,y) của PT:
$x + \sqrt {x + \frac{1}{2} + \sqrt {x + \frac{1}{4}} } = y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 10-05-2012 - 19:39

[L Lawliet]

Lời giải mang phong cách casio quá ,nhưng có lẽ không có cách khác
Tiếp tục ,Bài 37 : Giải phương trình nguyện nguyên dương :

$a^3+b^3+c^3=abc$

Bài 38 :Tìm các nghiệm nguyên (x,y) của PT:
$x + \sqrt {x + \frac{1}{2} + \sqrt {x + \frac{1}{4}} } = y$

Anh cho em hỏi ở bài 37 là tích của a, b, c hay đó là 1 chữ số vậy ạ