Chủ đề này có 5 trả lời

[kieumy]

Mong các anh giải giúp e bài này, và giải thích thật rõ, hjj (đây là bài tập 3.13 trang 64 rất cơ bản, có lời giải trong quyển BT ĐS ĐC của Bùi Huy Hiền), nhưng e đọc chả hiểu lắm vì lời giải ngắn gọn quá!!!

Chứng minh $Z/{n}Z$ (với $n \neq 0$) là một miền nguyên $\Longleftrightarrow n$ là số nguyên tố.


PS: Room ĐH này ít thấy thành viên quan tâm nhỉ, lâu nay chỉ thấy anh fghost và anh phuc_90 có bài viết giúp đỡ em, hic...

[phuc_90]

* Điều kiện cần : $Z/nZ$ là miền nguyên

Ý tưởng cho trường hợp này là ta dùng phản chứng.

Giả sử $n$ là hợp số , tức là $n=ab$ với $n>a,b>1$

Khi đó $(a+nZ)(b+nZ)=ab+nZ=n+nZ=0+nZ$ , vì $Z/nZ$ là miền nguyên

nên ta được $a+nZ=0+nZ$ hoặc $b+nZ=0+nZ$

Do đó $a \in nZ$ hoặc $b \in nZ$ hay $a=nz$ hoặc $b=nz'$ ( $z , z' \in Z$ )

Suy ra $n \mid a$ hoặc $n \mid b$ .Mâu thuẫn vì $n>a,b>1$

Vậy $n$ phải là số nguyên tố.

* Điều kiện đủ : $n$ là số nguyên tố

Ý tưởng cho trường hợp này là với $(a+nZ)(b+nZ)=0+nZ$

ta cần chứng minh $a+nZ=0+nZ$ hoặc $b+nZ=0+nZ$

Dễ thấy $Z/nZ$ là vành giao hoán

Với mọi $x+nZ , y+nZ \in Z/nZ$ , $(x+nZ)(y+nZ)=0+nZ$

hay $xy+nZ=0+nZ$ , khi đó $xy \in nZ$ suy ra $xy=nz$ , $z \in Z$

Kéo theo $n \mid xy$ vì $n$ là số nguyên tố nên $n \mid x$ hoặc $n \mid y$

Do đó $x=nz_1$ hoặc $y=nz_2$ với $z_1 , z_2 \in Z$

Suy ra $x+nZ=nz_1+nZ=0+nZ$ hoặc $y+nZ=nz_2+nZ=0+nZ$

Vậy $Z/nZ$ là miền nguyên

[kieumy]

E đã hiểu, hjj cảm ơn anh nhìu nhìu !

A cho e hỏi, khi mình muốn chứng tỏ $Z/nZ$ là miền nguyên, mình có cần chỉ rõ ra nó thỏa các đk theo đn miền nguyên ko ạ? (MN là vành g.hoán, có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử, và ko có ước của không).

Phần tử đơn vị của $Z/nZ$ có phải là $1+nZ$ không ạ? $Z/nZ$ có nhiều hơn một phần tử vì nó đã chứa phần tử $0$ và p.tử đơn vị phải ko a?

Cho e hỏi thêm:

1) Nếu $A$ là ideal của vành $X$ có đơn vị thì hiển nhiên $A$ cũng chứa phần tử đv đó? Và nếu vành $X$ không có đơn vị thì suy ra ideal $A$ của nó cũng ko có đv?

2) Phần tử $0$ và p.tử đơn vị của vành $X$ nếu nó tồn tại thì nó có duy nhất (giống như bên NHÓM) trong vành $X$ không a?

3) Nhiều tài liệu có khẳng định rằng (mà ko có tài liệu nào chứng minh, hic..): $A$ là ideal của vành $X$ có đơn vị và $A$ chứa đơn vị của $X$ khi và chỉ khi $A=X$. Em hiểu thế này, ko biết đúng hok?:

Hiển nhiên $A \leq X$ (vì nó là ideal của $X$)

$\forall x \in X \Rightarrow x=xe \in A \Rightarrow X \leq A$. Vậy nên $X=A$

4) Muốn kiểm tra một đa thức hệ số nguyên trên trường số hữu tỉ $Q$, có bất khả qui trên $Q$ mình có thể đi tìm các nghiệm hữu tỉ của nó. Nếu nó ko có nghiệm hữu tỉ nào thì mình khẳng định nó bất khả qui trên $Q$, và nếu nó có ít nhất 1 nghiệm hữu tỉ thì mình khẳng định nó khả qui trên $Q$?

Trong $Q[x]$ ta có tiêu chuẩn Eisenstein để kiểm tra tính bất khả qui của một đa thức $f(x) \in Q[x]; deg f>1$, nhưng ko phải đa thức nào của $Q[x]$ cũng có thể áp dụng được tiêu chuẩn này. Vậy nếu mình cứ áp dụng cái dòng màu đỏ ở trên để kiểm tra tính BKQ của mọi đa thức của $Q[x]$ thì có đúng ko a?

PS: Có những thắc mắc nhỏ, có những cách hiểu chưa biết đúng hay sai, khi học chẳng biết hỏi ai, hỏi giảng viên thì chắc là...ko dám rùi, nhờ có các anh ở dđth giúp e đã biết được nhiều thứ, cảm ơn các anh và dđth nhiều lắm!!!

[phuc_90]

A cho e hỏi, khi mình muốn chứng tỏ $Z/nZ$ là miền nguyên, mình có cần chỉ rõ ra nó thỏa các đk theo đn miền nguyên ko ạ? (MN là vành g.hoán, có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử, và ko có ước của không).

Đương nhiên là chúng ta phải kiểm theo đúng định nghĩa rồi...những cái hiển nhiên đúng thì ta thường bỏ qua...chẳng hạn ở bài này thì $Z/nZ$ hiển nhiên là vành giao hoán có đơn vị, nhiều hơn 1 phần tử ... cho nên người ta bỏ qua bước kiểm này mà chỉ cần kiểm tra nó ko có ước của 0 là được

Phần tử đơn vị của $Z/nZ$ có phải là $1+nZ$ không ạ? $Z/nZ$ có nhiều hơn một phần tử vì nó đã chứa phần tử $0$ và p.tử đơn vị phải ko a?

$1+nZ$ nó phần tử đơn vị của $Z/nZ$ và hiển nhiên là $0+nZ , 1+nZ$ đều thuộc $Z/nZ$ nên nó có nhiều hơn 1 phần tử.

Cho e hỏi thêm:

1) Nếu $A$ là ideal của vành $X$ có đơn vị thì hiển nhiên $A$ cũng chứa phần tử đv đó? Và nếu vành $X$ không có đơn vị thì suy ra ideal $A$ của nó cũng ko có đv?

Nếu $A$ là ideal của vành $X$ có đơn vị thì hiển nhiên $A$ cũng chứa phần tử đv đó? .Cái này chưa chắc đúng nhé...Dĩ nhiên là ta có thể chọn được 1 ideal của X mà không chứa đơn vị .Cái này rất nhiều, ví dụ ta cho $X=Z_6$ và $A=\langle \bar{4} \rangle $ là ideal sinh bởi phần tử $\bar{4}$ , dĩ nhiên $\bar{1} \notin A $

Và nếu vành $X$ không có đơn vị thì suy ra ideal $A$ của nó cũng ko có đv? Cái này thì hiển nhiên đúng @_^)

2) Phần tử $0$ và p.tử đơn vị của vành $X$ nếu nó tồn tại thì nó có duy nhất (giống như bên NHÓM) trong vành $X$ không a?

Phần tử $0$ và p.tử đơn vị của vành $X$ là duy nhất

3) Nhiều tài liệu có khẳng định rằng (mà ko có tài liệu nào chứng minh, hic..): $A$ là ideal của vành $X$ có đơn vị và $A$ chứa đơn vị của $X$ khi và chỉ khi $A=X$. Em hiểu thế này, ko biết đúng hok?:

Hiển nhiên $A \leq X$ (vì nó là ideal của $X$)

$\forall x \in X \Rightarrow x=xe \in A \Rightarrow X \leq A$. Vậy nên $X=A$

Cách làm đúng rồi nhưng chính xác hơn là $X \subset A$

4) Muốn kiểm tra một đa thức hệ số nguyên trên trường số hữu tỉ $Q$, có bất khả qui trên $Q$ mình có thể đi tìm các nghiệm hữu tỉ của nó. Nếu nó ko có nghiệm hữu tỉ nào thì mình khẳng định nó bất khả qui trên $Q$, và nếu nó có ít nhất 1 nghiệm hữu tỉ thì mình khẳng định nó khả qui trên $Q$?

Trong $Q[x]$ ta có tiêu chuẩn Eisenstein để kiểm tra tính bất khả qui của một đa thức $f(x) \in Q[x]; deg f>1$, nhưng ko phải đa thức nào của $Q[x]$ cũng có thể áp dụng được tiêu chuẩn này. Vậy nếu mình cứ áp dụng cái dòng màu đỏ ở trên để kiểm tra tính BKQ của mọi đa thức của $Q[x]$ thì có đúng ko a?

Đúng là ko phải đa thức nào của $Q[x]$ cũng có thể áp dụng được tiêu chuẩn Eisenstein nên người ta mới phát minh ra nhiều tiêu chuẩn khác mạnh hơn để đánh giá nữa @_^) .Tiêu chuẩn này hiệu quả khi áp dụng cho $f(x) \in Z[x]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 13-04-2012 - 16:20

[kieumy]

Cảm ơn anh rất nhìu, mong a online nhìu nhìu để...e học hỏi, hjj

Cho e hỏi trong vành $Z_6$ thì ideal $A=<\overline{4}>$ có các phần tử là: $<\overline{4}>=\left\{\overline{0},\overline{2}, \overline{4}\right\}$ đúng ko a?

Ví dụ có đề bài thế này: Chứng minh rằng $f(x)=x^3+x+1 \in Q[x]$ bất khả qui trong $Q[x]$.

E giải thế này như dưới đây được ko?

Vì $f(x)$ là đa thức hệ số nguyên trên $Q[x]$ và có hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do cũng là 1, nên nghiệm hữu tỉ $\alpha$ của nó (nếu có) phải là ước của 1 $\Rightarrow \alpha = \pm 1$. Lần lượt thay $\alpha = \pm 1$ vào $f(x)$ ta thấy $f(x) \neq 0$. Vậy $f(x)$ ko có nghiệm hữu tỉ trên $Q[x]$. Do đó nó BKQ trên $Q[x]$.

[phuc_90]

Kêt quả $\langle \overline{4} \rangle=\left\{\overline{0},\overline{2}, \overline{4}\right\}$ là chính xác @_^)

Ví dụ có đề bài thế này: Chứng minh rằng $f(x)=x^3+x+1 \in Q[x]$ bất khả qui trong $Q[x]$.

E giải thế này như dưới đây được ko?

Vì $f(x)$ là đa thức hệ số nguyên trên $Q[x]$ và có hệ số cao nhất là 1, hệ số tự do cũng là 1, nên nghiệm hữu tỉ $\alpha$ của nó (nếu có) phải là ước của 1 $\Rightarrow \alpha = \pm 1$. Lần lượt thay $\alpha = \pm 1$ vào $f(x)$ ta thấy $f(x) \neq 0$. Vậy $f(x)$ ko có nghiệm hữu tỉ trên $Q[x]$. Do đó nó BKQ trên $Q[x]$.

Chứng minh này đúng rồi @_^)