THỪA THIÊN HUẾ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2012
Môn: TOÁN
Ngày thi: 11/04/2012
Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức:
$$Q = \frac{{\sqrt {x - \sqrt {4(x - 1)} } + \sqrt {x + \sqrt {4(x - 1)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4(x - 1)} }}.\left( {1 - \frac{1}{{x - 1}}} \right)$$
1. Rút gọn $Q$.
2. Tính giá trị của $Q$ với $x=2013$
Bài 2. (4,0 điểm) Cho phương trình: $x^2-2(m-1)x+2m-5=0\,\,\,\, (1)$
1. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm dương.
2. Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $(1)$. Tìm $m$ nguyên dương để $A = {\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2}$ có giá trị nguyên.
Bài 3. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình sau:
$$\frac{1}{(x-1)^2} + \sqrt{3x+1}= \frac{1}{x^2} + \sqrt{x+2}$$
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ sao cho $x<y$ và $\sqrt{x} + \sqrt{y}=\sqrt{2012}.$
Bài 4. (5,0 điểm)
Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';R'), (R>R')$ cắt nhau tại $A$ và $B.$ Một tiếp tuyến chung tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $C,$ tiếp xúc với đường tròn $(O')$ tại $D$. Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $CD. B' $ là điểm đối xứng của $B$ qua $I, C'$ là điểm đối xứng của $B$ qua $CD$. Qua $A$ kẻ cát tuyến song song với $CD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $P$, cắt đường tròn $(O')$ tại $Q$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điể của $DB,CB$ với $PQ$.
1. Chứng minh rằng $A$ là trung điểm của $MN$.
2. Chứng minh rằng $A,C,B',C',D$ cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5. (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Chứng minh rằng $S_{ABC}=BD.CD$.
Bài 6. (2,0 điểm) Có hay không số tự nhiên $n$ thoả $2012 + n^2 $ là số chính phương? Tìm $n$ .
----HẾT----
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 12-04-2012 - 12:16