Chủ đề này có 2 trả lời

[minh29995]

Cho $a+b+c=1$
$a$, $b$, $c$ $>0$
CMR:
$\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\leq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 12-04-2012 - 18:03
Gõ latex

[Secrets In Inequalities VP]

Cho $a+b+c=1$
$a$, $b$, $c$ $>0$
CMR:
$\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\leq \frac{3}{2}$

Ta có :
$\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}= \sum \sqrt{\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}}= \sum \sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\sum (\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})= \frac{3}{2}$

[MIM]

Cho a+b+c=1
a,b,c >0
CMR
$\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\leq \frac{3}{2}$

$\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}\leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\leq \frac{3}{2}$

Ta có: $a+b+c=1\Leftrightarrow c=1-a-b$

$\Leftrightarrow c+ab=1-b-a+ab=(1-b)(1-a)=(c+a)(c+b)$

Do đó:

$\sqrt{\frac{ab}{ab+c}}=\frac{ab}{(c+a)(c+b)}\leq \frac{1}{4}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})^2$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})$

Tương tự:

$\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\leq \frac{1}{2}(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a})$

$\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\leq \frac{1}{2}(\frac{c}{c+b}+ \frac{a}{a+b})$

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HAIBARA AI loves ZHAOYUN: 30-09-2012 - 07:35