Chủ đề này có 3 trả lời

[quysaudong]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x² + y² + z² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x^{2}+1}{y}$ + $\frac{y^{2}+1}{z}$ +$\frac{z^{2}+1}{x}$ - $\frac{1}{x+y+z}$.
...................................................................
Bạn hãy đặt tiêu đề rõ ràng bằng Latex, không nên đặt là:" ... đây", "giúp ... với", "một bài ... hay" , ...
Lần này mình sửa, lần sau del thẳng tay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-04-2012 - 22:29

[WhjteShadow]

Do $x^2+y^2+z^2=3 \to (x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)=9$
$\to x+y+z\leq 3$
Ta có:$\sum \frac{1}{x} -\frac{1}{x+y+z}\geq \frac{9}{x+y+z}-\frac{1}{x+y+z}=\frac{8}{x+y+z}\geq \frac{8}{3}$ (1)
Và $\sum \frac{x^2}{y}=\sum \frac{x^4}{x^2y}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}=\frac{9}{x^2y+y^2z+z^2x}$
Mà $6x^2y\leq x^4+x^2y^2+x^2y^2+x^2+xy+xy$ (Cô si 6 số dương).Tương tự rồi cộng lại ta có:
$6(x^2y+y^2z+z^2x)\leq (x^2+y^2+z^2)^2+(x+y+z)^2\leq 18 \to x^2y+y^2z+z^2x\leq 3$
$\to \sum \frac{x^2}{y}\geq \frac{9}{3}=3$ (2)
$(1),(2) \to P\geq 3+\frac{8}{3}$
=>...........

[Katyusha]

$\sum \frac{x^2}{y}=\sum \frac{x^4}{x^2y}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x}=\frac{9}{x^2y+y^2z+z^2x}$

Đến đây ta có thể xử lý bằng Cauchy-Schwarz như sau
$$\frac{9}{x^2y+y^2z+z^2x} \ge \dfrac{9}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}}\ge \dfrac{9}{\sqrt{3\dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}}}=\dfrac{9}{3}=3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 13-04-2012 - 15:32

[phantomladyvskaitokid]

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x² + y² + z² = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x^{2}+1}{x}$ + $\frac{y^{2}+1}{y}$ +$\frac{z^{2}+1}{z}$ - $\frac{1}{x+y+z}$.