Chủ đề này có 5 trả lời

[ptk1995]

Nếu những bài này đã có trong diễn đàn thì mình mong rằng các Mod hoặc các bạn tìm giùm mình ,vì mình có rất ít thời gian để onl và tìm các bài đó ! Cảm ơn các bạn trước !

1. $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0 & \\x^2 +x^2y^2-2y=0 & \end{matrix}\right.$

2. $\left\{\begin{matrix} x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12 & \\y\sqrt{x^2-y^2}=12 & \end{matrix}\right.$

3. $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^2-2y^2 & \\x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y & \end{matrix}\right.$

4. $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 & \\x^2+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right.$

5. $\left\{\begin{matrix} x(x+y+1)-3=0 & \\(x+y)^2-\frac{5}{x^2} +1=0 & \end{matrix}\right.$

6. $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^2y^2-x^4y^4}=y^6+x^2(1-x) & \\\sqrt{1+(x+y)^2}+x(2y^3+x^2)\leq 0 & \end{matrix}\right.$

7. $\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y & \\x^2y^2+xy+1=13y^2 & \end{matrix}\right.$

8. $\left\{\begin{matrix} y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2} & \\4xy^3+y^3+\frac{1}{2}\geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} & \end{matrix}\right.$

9. $\left\{\begin{matrix} \frac{2x^2}{1+x^2}=y & \\ \frac{2y^2}{1+y^2}=z & \\ \frac{2z^2}{1+z^2}=x & \end{matrix}\right.$

10.$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2 & \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2} =4& \end{matrix}\right.$

11. $\left\{\begin{matrix} \frac{x^4}{y^2}+\frac{y^4}{z^2}+\frac{z^4}{x^2}=12 & \\ x^2+y^2+z^2=12& \end{matrix}\right.$

12. $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=\frac{x+y}{y+z}\frac{y+z}{x+y}+1& \end{matrix}\right.$

13. $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=1 & \\ yz+zx+2xy=-1& \end{matrix}\right.$

14. $\left\{\begin{matrix} x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{51}{4} & \\ x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{771}{16}& \end{matrix}\right.$

15. $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=3 & \\ \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=6& \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ptk1995: 12-04-2012 - 21:51

[NGOCTIEN_A1_DQH]

Nếu những bài này đã có trong diễn đàn thì mình mong rằng các Mod hoặc các bạn tìm giùm mình ,vì mình có rất ít thời gian để onl và tìm các bài đó ! Cảm ơn các bạn trước !
15. $\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=3 & \\ \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=6& \end{matrix}\right.$

làm bài cuối cùng
nhìn bài dạng này thì thứ đầu tiên ta nghĩ tới là bất đẳng thức.

áp dụng BDT cauchy-schwarz ta có:

$ 3=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)} $

$ \Rightarrow x+y+z \leq 6 $

mà áp dụng AM-GM cho PT(2) ta có:

$ 6=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \leq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2} =x+y+z $

từ 2 điều trên bắt buộc các dấu "=" phải xảy ra, tức là $ x=y=z=2 $

xong

[MIM]

1. $\left\{\begin{matrix} x^3+2y^2-4y+3=0 & \\x^2 +x^2y^2-2y=0 & \end{matrix}\right.$

$x^3+2y^2-4y+3=0 \Leftrightarrow x^3+2(y^2-2+1)+1=0 \Leftrightarrow (y-1)^2=\frac{-1-x^3}{2}$

$\Rightarrow \frac{-1-x^3}{2}\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1$

$x^2 +x^2y^2-2y=0\Leftrightarrow x^2y^2-2y+x^2=0$

Để hệ có nghiệm thì $\triangle_y =4-4x^4\geq 0\Leftrightarrow -1\leq x\leq 1$

Kết hợp với trên, ta có $x=-1$, thế vào phương trình ban đầu, tính được $y=1$.

Vậy, nghiệm của hệ là $(x,y)=(-1,1)$

2. $\left\{\begin{matrix} x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12 & \\y\sqrt{x^2-y^2}=12 & \end{matrix}\right.$

$ĐKXĐ:x^2\geq y^2$

Với điều kiện trên, đặt $a=y+\sqrt{x^2-y^2}$

$a^2=y^2+x^2-y^2+2y\sqrt{x^2-y^2}=x^2+2y\sqrt{x^2-y^2}$

Khi đó:

$\left\{\begin{matrix} x+y+\sqrt{x^2-y^2}=12 & \\y\sqrt{x^2-y^2}=12 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+a=12 & \\ \frac{a^2-x^2}{2}=12 & \end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=7 & \\x=5 & \end{matrix}\right.$

$a=y+\sqrt{x^2-y^2}$

$\Leftrightarrow 7=y+\sqrt{25-y^2}\Leftrightarrow y=3\vee y=4$

Thử lại, ta có nghiệm của hệ phương trình trên là: $(x,y)=(5,3),(5,4)$

3. $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^2-2y^2 & \\x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y & \end{matrix}\right.$

$xy+x+y=x^2-2y^2\Leftrightarrow (x+y)(x-2y-1)=0\Leftrightarrow x=-y\vee x=2y+1$

Với $x=-y$:

$x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\Leftrightarrow x\sqrt{-2x}+x\sqrt{x-1}=4x$

Để biểu thức có nghĩa thì $-2x\leq 0\wedge x-1\geq 0$ (Vô nghiệm)

Với $x=2y+1$:

$x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y$

$\Leftrightarrow (2y+1)\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=2(y+1)$

$\Leftrightarrow \sqrt{2y}(y+1)=2(y+1)$ nhận thấy $y=-1$ không là nghiệm của hệ nên
$\sqrt{2y}=2\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow x=5$

Vậy, hệ có nghiệm là: $(x,y)=(5,2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 13-04-2012 - 00:13

[ToanHocLaNiemVui]

Bài 14: Đặt: $a=x+\frac{1}{x};b=y+\frac{1}{y};c=z+\frac{1}{z}$.
Theo đề bài ra ta có HPT mới:
$\left\{\begin{matrix}a+b+c=\frac{51}{4} & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{867}{16} & \end{matrix}\right.$ (1)
Từ (1), kết hợp BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$.
Vì dấu "=" xảy ra nên $a=b=c$.
Đến đây mời bạn "chém" típ....

[MIM]

4. $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 & \\x^2+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right.$

$x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9\Leftrightarrow x^2(x^2+2xy)+x^2y^2=2x+9$

$x^2+2xy=6x+6\Leftrightarrow y=\frac{6x+6-x^2}{2x}$

$\Rightarrow x^2[x^2+2x(\frac{6x+6-x^2}{2x})]+x^2(\frac{6x+6-x^2}{2x})^2=2x+9$

Rút gọn cái đống đó, ta có $x(x+4)^3=0\Rightarrow x=-4$ (Vì $x=0$ không thỏa mãn)
Suy ra $y=\frac{17}{4}$
Vậy, $(x,y)=(-4,\frac{17}{4})$

5. $\left\{\begin{matrix} x(x+y+1)-3=0 & \\(x+y)^2-\frac{5}{x^2} +1=0 & \end{matrix}\right.$

$x(x+y+1)-3=0\Leftrightarrow y=\frac{3-x^2-x}{x}$

$(x+y)^2-\frac{5}{x^2} +1=0\Leftrightarrow (x+\frac{3-x^2-x}{x})^2-\frac{5}{x^2}+1=0$

Rút gọn cái đống đó ta được

$2x^2-6x+4=0\Leftrightarrow x=1\vee x=2$

Với $x=1,y=1$

Với $x=2,y=\frac{-3}{2}$

7. $\left\{\begin{matrix} xy+x+1=7y & \\x^2y^2+xy+1=13y^2 & \end{matrix}\right.$

Nhận thấy $y=0$ không là nghiệm của phương trình.
Xét $y \neq 0$, chia hai vế của phương trình thứ nhất cho $y$, chia hai vế của phương trình thứ hai cho $y^2$,ta có:
$\begin{cases} {x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}=7} \\
{x^2+\frac{x}{y}+\frac{1}{y^2}=13} \end{cases}.$

$\Leftrightarrow \begin{cases} {x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=7} \\
{(x+\frac{1}{y})^2-\frac{x}{y}=13} \end{cases}.$

$ \Leftrightarrow (x+\frac{1}{y})^2+(x+\frac{1}{y})-20=0$

$\Leftrightarrow x+\frac{1}{y}=4\vee x+\frac{1}{y}=-5$

[ptk1995]

Còn khá nhiều bài nữa đó các bạn ơi ^^!