Chủ đề này có 7 trả lời

[hieuht2012]

Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:
A/ $x^3-y^3=xy+61$
B/ $x^2+x+z+1=xyz$
C/$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$
D/$xy^2+2xy-27y+x=0$
----------------
- Bạn vui lòng gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề. Đừng để mình phải nhắc thêm lần nữa. Mình không muốn làm các động tác xóa bài viết của các bạn đâu!
- Nếu trong bài viết có nhiều bài toán. Bạn chọn một trong số đó để gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 13-04-2012 - 22:55
tiêu đề

[Ispectorgadget]

Bài A tham khảo ở đây

[Crystal]

Nếu bạn gửi bài mà đặt tiêu đề không hợp lí (vi phạm quy định của Diễn đàn). Để sửa lại tiêu đề, bạn làm như sau:

Ví dụ: Để sửa lại tiêu đề cho bài viết có tiêu đề vi phạm là MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÓ có nội dung là: Giải phương trình $$2\sin 2x - 3\cos 2x + 2\left( {3\sin x - \cos x} \right) = 7$$

Bước 1: Click vào nút Sửa


Bước 2: Click vào nút Dùng bộ soạn thảo đầy đủ


Bước 3: Gõ $\LaTeX$ vào ô Tiêu đề


Bước 4: Click vào nút Gửi bài đã sửa


Nếu khi gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề mà hệ thống báo lỗi Tiêu đề quá dài thì bạn có thể rút ngắn bằng cách gõ 1 phần của nội dung $\LaTeX$ đó. Bạn cũng có thể dùng các kí hiệu như $\sum {} ,\prod {} ,...$ để rút gọn tiêu đề.

Chúc bạn thành công!

[MIM]

Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:
C/$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Bài này có ở sách của thầy Phan Huy Khải, mình xin trình bày lại đầy đủ để mọi người có thể tham khảo thêm cách giải ngắn gọn, dễ hiểu và rất đẹp của thầy

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Do $x,y$ dương nên phương trình trên tương đương với:

$x+y+2\sqrt{xy}=x+y+4+4\sqrt{x+y}

\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2(1+\sqrt{x+y})(*)$

$\Leftrightarrow xy=4(1+x+y+2\sqrt{x+y})

\Leftrightarrow 8\sqrt{x+y}=xy-4x-4y-4(1)$

Do $x,y$ nguyên dương nên từ $(1)$ suy ra $\sqrt{x+y}$ là số nguyên.
Từ $(*)$ ta thấy $\sqrt{xy}$ là số chẵn, đặt $\sqrt{xy}=2t,t$ nguyên dương.

Từ phương trình đã cho ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=t+1 & \\ \sqrt{xy}=2t & \end{matrix}\right.$

Theo định lí Viete suy ra $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của phương trình:

$z^2-(t+1)z+2t=0(2)$

Xét biệt thức $\triangle $ của $(2)$:

$\triangle =(t+1)^2-8t=t^2-6t+1$

Để phương trình trên có nghiệm nguyên $\triangle$ phải là số chính phương,trước hết:

$\triangle \geq 0\Leftrightarrow t^2-6t+1\geq 0
\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
t\geq 3+\sqrt{8} \\t\leq 3-\sqrt{8}
\end{array} \right.$

Do $t$ nguyên dương nên $t\geq 6$

Mặc khác:

$\triangle -(t-3)^2=t^2-6t+1-t^2+6t-9=-8<0$

$\triangle -(t-5)^2=t^2-6t+1-t^2+10t-25=4t-24\geq 0$ (do $t\geq 6$ )

nên: $(t-5)^2\leq \triangle <(t-3)^2$

Từ $(3)$ và do $\triangle$ là số chính phương nên:

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
\triangle =(t-5)^2 \\\triangle =(t-4)^2
\end{array} \right.$

a) Nếu $\triangle =(t-5)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-10t+25\Rightarrow t=6$. Từ $(2)$ ta có:

$z^2-7z+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z=3\\z=4
\end{array} \right.$

Với trường hợp này phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

b) Nếu $\triangle=(t-4)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-8t+16\Rightarrow 2t=15$. Trường hợp này loại do $t$ không nguyên.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

[Cantho2015]

Bài A xem ở đây http://diendantoanho...ên-a3-b3-ab-61/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cantho2015: 19-06-2016 - 10:42

[linhthptkt]

câu D coi y là ẩn chính sau đó đặt nhân tử chung rồi giải như phương trình bậc hai bình thường ẩn y coi x là hằng số giải ra y= ? x rồi thay và phương trình ban đầu

[linhthptkt]

Sau khi giải ra phương trình ban thay x=?y hay y=?x tùy bạn

[anh892007]

Bài này có ở sách của thầy Phan Huy Khải, mình xin trình bày lại đầy đủ để mọi người có thể tham khảo thêm cách giải ngắn gọn, dễ hiểu và rất đẹp của thầy

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Do $x,y$ dương nên phương trình trên tương đương với:

$x+y+2\sqrt{xy}=x+y+4+4\sqrt{x+y}

\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2(1+\sqrt{x+y})(*)$

$\Leftrightarrow xy=4(1+x+y+2\sqrt{x+y})

\Leftrightarrow 8\sqrt{x+y}=xy-4x-4y-4(1)$

Do $x,y$ nguyên dương nên từ $(1)$ suy ra $\sqrt{x+y}$ là số nguyên.
Từ $(*)$ ta thấy $\sqrt{xy}$ là số chẵn, đặt $\sqrt{xy}=2t,t$ nguyên dương.

Từ phương trình đã cho ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=t+1 & \\ \sqrt{xy}=2t & \end{matrix}\right.$

Theo định lí Viete suy ra $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của phương trình:

$z^2-(t+1)z+2t=0(2)$

Xét biệt thức $\triangle $ của $(2)$:

$\triangle =(t+1)^2-8t=t^2-6t+1$

Để phương trình trên có nghiệm nguyên $\triangle$ phải là số chính phương,trước hết:

$\triangle \geq 0\Leftrightarrow t^2-6t+1\geq 0
\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
t\geq 3+\sqrt{8} \\t\leq 3-\sqrt{8}
\end{array} \right.$

Do $t$ nguyên dương nên $t\geq 6$

Mặc khác:

$\triangle -(t-3)^2=t^2-6t+1-t^2+6t-9=-8<0$

$\triangle -(t-5)^2=t^2-6t+1-t^2+10t-25=4t-24\geq 0$ (do $t\geq 6$ )

nên: $(t-5)^2\leq \triangle <(t-3)^2$

Từ $(3)$ và do $\triangle$ là số chính phương nên:

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
\triangle =(t-5)^2 \\\triangle =(t-4)^2
\end{array} \right.$

a) Nếu $\triangle =(t-5)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-10t+25\Rightarrow t=6$. Từ $(2)$ ta có:

$z^2-7z+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z=3\\z=4
\end{array} \right.$

Với trường hợp này phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

b) Nếu $\triangle=(t-4)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-8t+16\Rightarrow 2t=15$. Trường hợp này loại do $t$ không nguyên.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

Chỗ này $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ có phải nguyên đâu bạn??????