Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $$x^3-y^3=xy+61$$ và một số bài khác


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 hieuht2012

hieuht2012

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh

Đã gửi 13-04-2012 - 22:10

Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:
A/ $x^3-y^3=xy+61$
B/ $x^2+x+z+1=xyz$
C/$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$
D/$xy^2+2xy-27y+x=0$
----------------
- Bạn vui lòng gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề. Đừng để mình phải nhắc thêm lần nữa. Mình không muốn làm các động tác xóa bài viết của các bạn đâu!
- Nếu trong bài viết có nhiều bài toán. Bạn chọn một trong số đó để gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 13-04-2012 - 22:55
tiêu đề

QT CT

#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 13-04-2012 - 22:14

Bài A tham khảo ở đây
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 13-04-2012 - 22:58

Nếu bạn gửi bài mà đặt tiêu đề không hợp lí (vi phạm quy định của Diễn đàn). Để sửa lại tiêu đề, bạn làm như sau:

Ví dụ: Để sửa lại tiêu đề cho bài viết có tiêu đề vi phạm là MỘT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÓ có nội dung là: Giải phương trình $$2\sin 2x - 3\cos 2x + 2\left( {3\sin x - \cos x} \right) = 7$$

Bước 1: Click vào nút Sửa
buoc 1.png

Bước 2: Click vào nút Dùng bộ soạn thảo đầy đủ
buoc 2.png

Bước 3: Gõ $\LaTeX$ vào ô Tiêu đề
buoc 3.png

Bước 4: Click vào nút Gửi bài đã sửa
buoc 4.png

Nếu khi gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề mà hệ thống báo lỗi Tiêu đề quá dài thì bạn có thể rút ngắn bằng cách gõ 1 phần của nội dung $\LaTeX$ đó. Bạn cũng có thể dùng các kí hiệu như $\sum {} ,\prod {} ,...$ để rút gọn tiêu đề.

Chúc bạn thành công!

#4 MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Huế
  • Sở thích:Shironeko:x

Đã gửi 13-04-2012 - 23:48

Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình:
C/$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Bài này có ở sách của thầy Phan Huy Khải, mình xin trình bày lại đầy đủ để mọi người có thể tham khảo thêm cách giải ngắn gọn, dễ hiểu và rất đẹp của thầy :icon6:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Do $x,y$ dương nên phương trình trên tương đương với:

$x+y+2\sqrt{xy}=x+y+4+4\sqrt{x+y}

\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2(1+\sqrt{x+y})(*)$

$\Leftrightarrow xy=4(1+x+y+2\sqrt{x+y})

\Leftrightarrow 8\sqrt{x+y}=xy-4x-4y-4(1)$

Do $x,y$ nguyên dương nên từ $(1)$ suy ra $\sqrt{x+y}$ là số nguyên.
Từ $(*)$ ta thấy $\sqrt{xy}$ là số chẵn, đặt $\sqrt{xy}=2t,t$ nguyên dương.

Từ phương trình đã cho ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=t+1 & \\ \sqrt{xy}=2t & \end{matrix}\right.$

Theo định lí Viete suy ra $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của phương trình:

$z^2-(t+1)z+2t=0(2)$

Xét biệt thức $\triangle $ của $(2)$:

$\triangle =(t+1)^2-8t=t^2-6t+1$

Để phương trình trên có nghiệm nguyên $\triangle$ phải là số chính phương,trước hết:

$\triangle \geq 0\Leftrightarrow t^2-6t+1\geq 0
\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
t\geq 3+\sqrt{8} \\t\leq 3-\sqrt{8}
\end{array} \right.$

Do $t$ nguyên dương nên $t\geq 6$

Mặc khác:

$\triangle -(t-3)^2=t^2-6t+1-t^2+6t-9=-8<0$

$\triangle -(t-5)^2=t^2-6t+1-t^2+10t-25=4t-24\geq 0$ (do $t\geq 6$ )

nên: $(t-5)^2\leq \triangle <(t-3)^2$

Từ $(3)$ và do $\triangle$ là số chính phương nên:

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
\triangle =(t-5)^2 \\\triangle =(t-4)^2
\end{array} \right.$

a) Nếu $\triangle =(t-5)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-10t+25\Rightarrow t=6$. Từ $(2)$ ta có:

$z^2-7z+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z=3\\z=4
\end{array} \right.$

Với trường hợp này phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

b) Nếu $\triangle=(t-4)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-8t+16\Rightarrow 2t=15$. Trường hợp này loại do $t$ không nguyên.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

Hình đã gửi


#5 Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đoàn Thị Điểm- Cần Thơ
  • Sở thích:Ngủ, ăn, vừa ăn vừa ngủ

Đã gửi 19-06-2016 - 03:48

Bài A xem ở đây http://diendantoanho...ên-a3-b3-ab-61/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cantho2015: 19-06-2016 - 10:42


#6 linhthptkt

linhthptkt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kon tum
  • Sở thích:Không có

Đã gửi 19-06-2016 - 10:30

câu D coi y là ẩn chính sau đó đặt nhân tử chung rồi giải như phương trình bậc hai bình thường ẩn y coi x là hằng số giải ra y= ? x rồi thay và phương trình ban đầu



#7 linhthptkt

linhthptkt

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kon tum
  • Sở thích:Không có

Đã gửi 19-06-2016 - 10:33

Sau khi giải ra phương trình ban thay x=?y hay y=?x tùy bạn



#8 anh892007

anh892007

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết

Đã gửi 19-06-2016 - 23:19

Bài này có ở sách của thầy Phan Huy Khải, mình xin trình bày lại đầy đủ để mọi người có thể tham khảo thêm cách giải ngắn gọn, dễ hiểu và rất đẹp của thầy :icon6:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Do $x,y$ dương nên phương trình trên tương đương với:

$x+y+2\sqrt{xy}=x+y+4+4\sqrt{x+y}

\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2(1+\sqrt{x+y})(*)$

$\Leftrightarrow xy=4(1+x+y+2\sqrt{x+y})

\Leftrightarrow 8\sqrt{x+y}=xy-4x-4y-4(1)$

Do $x,y$ nguyên dương nên từ $(1)$ suy ra $\sqrt{x+y}$ là số nguyên.
Từ $(*)$ ta thấy $\sqrt{xy}$ là số chẵn, đặt $\sqrt{xy}=2t,t$ nguyên dương.

Từ phương trình đã cho ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y}=t+1 & \\ \sqrt{xy}=2t & \end{matrix}\right.$

Theo định lí Viete suy ra $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của phương trình:

$z^2-(t+1)z+2t=0(2)$

Xét biệt thức $\triangle $ của $(2)$:

$\triangle =(t+1)^2-8t=t^2-6t+1$

Để phương trình trên có nghiệm nguyên $\triangle$ phải là số chính phương,trước hết:

$\triangle \geq 0\Leftrightarrow t^2-6t+1\geq 0
\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
t\geq 3+\sqrt{8} \\t\leq 3-\sqrt{8}
\end{array} \right.$

Do $t$ nguyên dương nên $t\geq 6$

Mặc khác:

$\triangle -(t-3)^2=t^2-6t+1-t^2+6t-9=-8<0$

$\triangle -(t-5)^2=t^2-6t+1-t^2+10t-25=4t-24\geq 0$ (do $t\geq 6$ )

nên: $(t-5)^2\leq \triangle <(t-3)^2$

Từ $(3)$ và do $\triangle$ là số chính phương nên:

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}
\triangle =(t-5)^2 \\\triangle =(t-4)^2
\end{array} \right.$

a) Nếu $\triangle =(t-5)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-10t+25\Rightarrow t=6$. Từ $(2)$ ta có:

$z^2-7z+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z=3\\z=4
\end{array} \right.$

Với trường hợp này phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

b) Nếu $\triangle=(t-4)^2\Rightarrow t^2-6t+1=t^2-8t+16\Rightarrow 2t=15$. Trường hợp này loại do $t$ không nguyên.

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm nguyên dương: $(x,y)=(9,16),(16,9)$

Chỗ này $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ có phải nguyên đâu bạn??????






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh