European Girls’ Mathematical Olympiad 2012
Ngày thi thứ nhất: 12-04-2012
Bài 1.[left] Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $D,E.F$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $DE\perp CO$, $DF\perp BO$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$. Chứng minh rằng $DK\perp BC$.
Bài 2. Cho số nguyên dương $n$. Tìm số nguyên dương $m$ lớn nhất (theo $n$) sao cho: Trong một bảng gồm $m$ hàng, $n$ cột ta có thể điền các số thực vào các ô sao cho với hai hàng khác nhau bất kỳ $(a_1,a_2,...,a_n)$ và $(b_1,b_2,...,b_n)$ thì
$$\max\{|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,...,|a_n-b_n|\}=1.$$
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa
$$f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$
Bài 4. Một tập $A$ gồm các số nguyên được gọi là đầy nếu $A\subset A+A$ ( tức là mọi phần tử của $A$ đều phân tích thành tổng của hai số thuộc $A$). Một tập $A$ được gọi là khuyết nếu số $0$ là số duy nhất không biểu diễn được thành tổng một số hữu hạn các phần tử khác nhau trong $A$. Hỏi tồn tại hay không một tập vừa đầy vừa khuyết?
------
Bạn nào dịch luôn đề của ngày thi thứ hai (trong file đính kèm) nhé.