Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

European Girls’ Mathematical Olympiad 2012

Ngày thi thứ nhất: 12-04-2012

Bài 1.[left] Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $D,E.F$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $DE\perp CO$, $DF\perp BO$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFE$. Chứng minh rằng $DK\perp BC$.

Bài 2. Cho số nguyên dương $n$. Tìm số nguyên dương $m$ lớn nhất (theo $n$) sao cho: Trong một bảng gồm $m$ hàng, $n$ cột ta có thể điền các số thực vào các ô sao cho với hai hàng khác nhau bất kỳ $(a_1,a_2,...,a_n)$ và $(b_1,b_2,...,b_n)$ thì
$$\max\{|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,...,|a_n-b_n|\}=1.$$
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa
$$f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$
Bài 4. Một tập $A$ gồm các số nguyên được gọi là đầy nếu $A\subset A+A$ ( tức là mọi phần tử của $A$ đều phân tích thành tổng của hai số thuộc $A$). Một tập $A$ được gọi là khuyết nếu số $0$ là số duy nhất không biểu diễn được thành tổng một số hữu hạn các phần tử khác nhau trong $A$. Hỏi tồn tại hay không một tập vừa đầy vừa khuyết?

------

Bạn nào dịch luôn đề của ngày thi thứ hai (trong file đính kèm) nhé.

File gửi kèm

•  EGMO 2012.pdf   459.41K   564 Số lần tải

[funcalys]

Ngày thứ 2:
$\mathfrak{1}$ Cho 2 số nguyên tố $p, q$ thỏa
$\frac{p}{p+1}+\frac{q+1}{q}= \frac{2n}{n+n}$
với $n$ nguyên dương. Tìm tất cả giá trị của $q-p$

$\mathfrak{2}$ Rất nhiều người đăng kí mạng xã hội Mugbook. Một số cặp (khác nhau) đã đăng kí trở thành bạn bè, nhưng số lượng bạn bè thì có hạn. Mỗi người dùng có ít nhất 1 bạn. ( Quan hệ bạn bè có tính đối xứng: Nếu A là bạn B thì B là bạn A).
Mỗi người được yêu cầu chọn một trong số những bạn bè của mình để làm bạn thân.
Nếu A chọn B là bạn thân thì sẽ gọi là 1-bạn thân. Một cách tổng quát, với số nguyên dương $n>1$, một người dùng sẽ là một n-bạn thân nếu người dùng đó được chọn trở thành bạn thân của người là (n-1)-bạn thân. Nếu một người là k-bạn thân ($\forall$ k nguyên dương) được gọi là nổi tiếng.

a) Chứng minh mỗi người nổi tiếng là bạn thân của người nổi tiếng khác.
b) Hãy chỉ ra rằng nếu danh sách bạn bè của người dùng không bị giới hạn, thì a) có thể sai.
$\mathfrak{3}$ Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp trong đường tròn $\Gamma$, có trực tâm H.
Lấy điểm $K \in \Gamma, K \neq A$. $L$ đối xứng với $K$ qua $AB$.$M$ đối xứng với $K$ qua $BC$. $E$ là giao điểm thứ 2 của $\Gamma$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác BLM.
Chứng minh KH, EM, BC đồng quy.

$\mathfrak{4}$ Một chữ là dãy hữu hạn kí tự trong bảng chữ cái. Một chữ là lặp nếu nó được tạo thành từ 2 subwords giống nhau. Chứng minh rằng một chữ có tính chất: đổi chỗ 2 kí tự cạnh nhau thì từ đó sẽ là lặp , thì tất cả các kí tự của nó đều giống nhau.
Note:( subwords là những từ bạn có thể tạo được từ 1 từ đã cho).

[Friedrich Engels]

European Girls’ Mathematical Olympiad 2012

Ngày thi thứ nhất: 12-04-2012

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa
$$f(yf(x+y)+f(x))=4x+2yf(x+y),\forall x,y\in\mathbb{R}.$$

Bạn nào dịch luôn đề của ngày thi thứ hai (trong file đính kèm) nhé.

Cho y=0 thì \[f\left( {f\left( x \right)} \right) = 4x\]
vậy f là song ánh.
mặt khác, cho x=0 thì \[f\left( {yf\left( y \right) + f\left( 0 \right)} \right) = 2yf\left( y \right)\]
vì f là song ánh nên tồn tại a để \[f\left( a \right) = 2\]
chọn x=a-y, ta được

\[\begin{array}{l}
f\left( {2y + f\left( {a - y} \right)} \right) = 2\left( {a - y} \right)f\left( a \right) + 2yf\left( a \right) = 2af\left( a \right) = f\left( {af\left( a \right) + f\left( 0 \right)} \right)\\
\Rightarrow 2y + f\left( {a - y} \right) = 2a + f\left( 0 \right)\\
\Rightarrow f\left( {a - y} \right) = 2\left( {a - y} \right) + f\left( 0 \right)\\
\Rightarrow f\left( x \right) = 2x + m
\end{array}\]
thay vào ta được m=0, f(x)=2x