Chủ đề này có 6 trả lời

[phuc_90]

Từ đây mình sẽ post những bài cơ bản của Lý thuyết vành để mọi người làm quen.

Bài 1 : Cho $I,J$ là ideal của vành giao hoán $R$ sao cho $I+J=R$
Chứng minh rằng : $IJ=I \cap J$

Bài 2 : Cho $I$ là ideal tối đại của vành $R$ , $I \neq R$
Chứng minh rằng luôn tồn tại tập con $S \neq \emptyset$ của $R$ thỏa $S \cap I = \emptyset$ sao cho $I+\langle{S}\rangle =R$

Tạm thời nhiu đây thôi nhé ... mai mình post tiếp @_^)

P/S : Ai quan tâm thì ủng hộ mình nhé ... để có động lực làm tiếp ... ( đương nhiên mình sẽ có hint cho bài nào ko ai giải ra )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 18-04-2012 - 23:23

[kieumy]

Bài 1 giả thiết cho $R$ là vành giao hoán, có đơn vị không ạ?

Nếu một bài giả thiết cho $R$ là vành tùy ý, thì nghĩa là nó không có đơn vị, hoặc có đơn vị; giao hoán hoặc không giao hoán; số phần tử của nó có thể chỉ là 1 (là p.tử không của nó). Vậy thì khi ta chứng minh, ta ko thể áp đặt cho nó có đơn vị, có nhiều hơn 1 phần tử... đúng ko anh?

[phuc_90]

Những trường hợp cụ thể như vành giao hoán có đơn vị thì người ta sẽ nói ra ngay từ đầu ... nếu không nói gì tức là vành bất kì, tức là có thể không giao hoán và không có đơn vị. Trường hợp mà vành có 1 phần tử cũng có ... nhưng đó là vành đặc biệt. Người ta quan tâm nhiều về những vành có số phần tử lớn hơn 1, đương nhiên vành trong bài tập này cũng vậy ( nếu My khẳng định vành này có 1 phần tử thì hãy chứng minh nhé @_^) )

[kieumy]

Ở bài 1 nếu cho thêm giả thiết $R$ có đơn vị thì em chứng minh được, còn nếu $R$ chỉ là vành giao hoán thì ...e chưa nghĩ ra, hjj. Bài 2 thì...ko nhìn ra hướng nào cả, hic...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kieumy: 16-04-2012 - 14:55

[phuc_90]

Ở bài 1 nếu cho thêm giả thiết $R$ có đơn vị thì em chứng minh được, còn nếu $R$ chỉ là vành giao hoán thì ...e chưa nghĩ ra, hjj. Bài 2 thì...ko nhìn ra hướng nào cả, hic...

Đây là lời giải cho 2 bài như sau @_^)

Bài 1 : Do $I,J$ là idel của $R$ nên $IJ \subseteq I$ , $IJ \subseteq J$ suy ra $IJ \subseteq I\cap J$

Lấy $x \in I \cap J$ khi đó $x \in I$ , $x \in J$ (*)

Khi đó $\exists \ \ i \in I , j \in J$ sao cho $i+j=1-x$

kéo theo $x(1-x)=x(i+j)=xi+xj \in IJ$ ( do (*) và $R$ là vành giao hoán ) kéo theo $x=x^2+x(1-x) \in IJ$

Suy ra $I \cap J \subseteq IJ$

Vậy $IJ=I \cap J$

Bài 2 : Do $I \neq R$ nên tồn tại $x \in R$ nhưng $x \notin I$

Khi đó ta lập được ideal sinh bởi 1 phần tử $x$ , $\langle{x}\rangle$

Ta có $I \subset I+\langle{x}\rangle \subseteq R$ , mà $I$ là ideal tối đại nên $ I+\langle{x}\rangle =R$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 18-04-2012 - 23:40

[phuc_90]

Mình post tiếp 2 bài nữa, các bạn cùng làm nhé.

Bài 3 : Cho $a,b$ là hai phần tử trong vành $R$ có đơn vị .Chứng minh rằng nếu $1-ab$ khả nghịch trái thì $1-ba$ cũng khả nghịch trái.

Bài 4 : Cho $R$ là vành có đơn vị, phần tử $a \in R$ được gọi là lũy đẳng nếu $a^2=a$
Cho $e,f$ là hai phần tử lũy đẳng của $R$ .Chứng minh rằng :

a) $Re=Rf$ nếu và chỉ nếu $f=e+(1-e)xe$ với $x \in R$ nào đó

b) Nếu $e,f$ thuộc tâm của $R$ thì $Re=Rf$ nếu và chỉ nếu $e=f$

Tâm của $R$ là tập hợp $\{x \in R \ \ \mid \ \ xy=yx , \forall y \in R \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 19-04-2012 - 09:06

[kieumy]

Đây là lời giải cho 2 bài như sau @_^)

Bài 1 : Do $I,J$ là idel của $R$ nên $IJ \subseteq I$ , $IJ \subseteq J$ suy ra $IJ \subseteq I\cap J$

Lấy $x \in I \cap J$ khi đó $x \in I$ , $x \in J$ (*)

Khi đó $\exists \ \ i \in I , j \in J$ sao cho $i+j=1-x$ $\Longleftarrow $ em ko hiểu dòng này, $1$ là gì vậy anh?

kéo theo $x(1-x)=x(i+j)=xi+xj \in IJ$ ( do (*) và $R$ là vành giao hoán ) kéo theo $x=x^2+x(1-x) \in IJ$

Suy ra $I \cap J \subseteq IJ$

Vậy $IJ=I \cap J$

Bài 2 : Do $I \neq R$ nên tồn tại $x \in R$ nhưng $x \notin I$

Khi đó ta lập được ideal sinh bởi 1 phần tử $x$ , $\langle{x}\rangle$

Ta có $I \subset I+\langle{x}\rangle \subseteq R$ , mà $I$ là ideal tối đại nên $ I+\langle{x}\rangle =R$ (đpcm)


Nếu em thay ký hiệu $\subseteq$ bằng $\subset$ trong bài này thì có đúng ko? $\subseteq R$ là kí hiệu cho ideal của $R$ hả anh?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kieumy: 19-04-2012 - 06:54