Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ với các hệ số nguyên không âm không lớn hơn $8$ và $P(9)= 32078$
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ với các hệ số nguyên không âm không lớn hơn $8$ và $P(9)= 32078$
Bắt đầu bởi tieulyly1995, 15-04-2012 - 11:23
#1
Đã gửi 15-04-2012 - 11:23
#2
Đã gửi 15-04-2012 - 11:30
Đề bài không cho thêm dữ liệu nào nữa à chị, em tìm được bậc của đa thức nhưng chưa đủ điều kiện tìm hệ số .Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ với các hệ số nguyên không âm không lớn hơn $8$ và $P(9)= 32078$
- tieulyly1995 yêu thích
Thích ngủ.
#3
Đã gửi 15-04-2012 - 11:34
Bài này như thế là đã đủ để giải quyết vấn đề rồi đó em. Em xem nhé.
Bài 6:Cho đa thức $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên không âm và không lớn hơn $8$.Giả sử $P(9)=32078$.Hãy xác định đa thức $P(x)$
Giả sử đa thức cần tìm có dạng: $$P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$$
Theo giả thiết thì: $$P\left( 9 \right) = {a_n}{9^n} + {a_{n - 1}}{9^{n - 1}} + ... + {a_1}9 + {a_0} = 32078$$
Vì ${a_i},i = \overline {0,n} $ là số nguyên không âm nhỏ hơn 9 nên:
$$P\left( 9 \right) = {a_n}{9^n} + {a_{n - 1}}{9^{n - 1}} + ... + {a_1}9 + {a_0} = \overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_0}_{\left( 9 \right)}} = 32078$$
Trong đó: $\overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_0}_{\left( 9 \right)}} $ là biểu diễn của $32078$ trong hệ đếm cơ số $9$ và $32078 = {48002_{\left( 9 \right)}}$
Nên $$\overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_0}_{\left( 9 \right)}} = 48002 \Rightarrow n = 4,{a_4} = 4,{a_3} = 8,{a_2} = 0,{a_1} = 0,{a_0} = 2$$
Suy ra đa thức cần tìm là: $P\left( x \right) = 4{x^4} + 8{x^3} + 2$. Thử lại thấy đúng.
- Nxb, tieulyly1995 và linhlun97 thích
#5
Đã gửi 15-04-2012 - 11:39
Cảm ơn anh nhưng sử dụng hệ đếm là sao anh ?Bài này như thế là đã đủ để giải quyết vấn đề rồi đó em. Em xem nhé.
Thích ngủ.
#6
Đã gửi 15-04-2012 - 11:43
Em làm như vầy:Em cứ trình bày hướng suy luận của em đi...
Bài này còn có thể suy luận theo hướng khác
Giả sử đa thức cần tìm có bậc là 5, mà $9^5=59049>32078$ nên đa thức cần tìm có thể là bậc 4. Gọi đa thức cần tìm có dạng:
$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$
trong đó a, b, c, d, e là các số nguyên không âm, tới đó em chưa nghĩ ra .
Thích ngủ.
#7
Đã gửi 15-04-2012 - 19:32
Với một số có dạng $\overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_2}{a_1}{a_0}} $ thì biểu diễn của số đó trong hệ ghi cơ số $T$ có dạng:
\[{\overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_2}{a_1}{a_0}} _{\left( T \right)}} = {a_n}{T^n} + {a_{n - 1}}{T^{n - 1}} + ... + {a_2}{T^2} + {a_1}T + {a_0}\]
Từ đó ta có thể áp dụng vào bài toán trên.
----
\[{\overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_2}{a_1}{a_0}} _{\left( T \right)}} = {a_n}{T^n} + {a_{n - 1}}{T^{n - 1}} + ... + {a_2}{T^2} + {a_1}T + {a_0}\]
Từ đó ta có thể áp dụng vào bài toán trên.
----
#8
Đã gửi 17-04-2012 - 14:23
Lúc học bài này em chưa biết áp dụng cơ số đếm như thế nào, nhưng gợi ý cho các bé ở trên là dùng đồng dư thức cũng ra được
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh