Chủ đề này có 1 trả lời

[minhdat881439]

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ và phân biệt:
Chứng minh rằng có $2$ số $x,y \in {a,b,c,d}$ $(x \neq y)$ sao cho:

$$\frac{1+xy}{\sqrt{1+x^{2}}\sqrt{1+y^{2}}}> \frac{1}{2}$$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-07-2015 - 14:12

[perfectstrong]

Lời giải:
Đặt
\[
\begin{array}{l}
\left( {a;b;c;d} \right) = \left( {\tan \alpha _1 ;\tan \alpha _2 ;\tan \alpha _3 ;\tan \alpha _4 } \right)\left( {\alpha _i \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right);i = \overline {1,4} } \right) \\
\Rightarrow \cos \alpha _i > 0,i = \overline {1,4} \\
\end{array}
\]
Không mất tính tổng quát, giả sử $ - \frac{\pi }{2} < \alpha _1 < \alpha _2 < \alpha _3 < \alpha _4 < \frac{\pi }{2}$
Viết lại biểu thức đã cho
\[
\frac{{1 + \tan \alpha _i \tan \alpha _j }}{{\sqrt {1 + \tan ^2 \alpha _i } .\sqrt {1 + \tan ^2 \alpha _j } }} = \frac{{1 + \frac{{\sin \alpha _i }}{{\cos \alpha _i }}.\frac{{\sin \alpha _j }}{{\cos \alpha _j }}}}{{\frac{1}{{\cos \alpha _i }}.\frac{1}{{\cos \alpha _j }}}} = \cos \alpha _i \cos \alpha _j + \sin \alpha _i \sin \alpha _j = \cos \left( {\alpha _i - \alpha _j } \right)
\]
Xét các hiệu số dương sau: $\alpha_2 - \alpha_1;\alpha_3-\alpha_2;\alpha_4-\alpha_3$:
\[
\left( {\alpha _2 - \alpha _1 } \right) + \left( {\alpha _3 - \alpha _2 } \right) + \left( {\alpha _4 - \alpha _3 } \right) = \alpha _4 - \alpha _1 < \frac{\pi }{2} - \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \pi
\]
Suy ra trong 3 số đó, phải có 1 số nhỏ hơn $\dfrac{\pi}{3}$. Gọi hiệu đó là $\alpha_{k+1}-\alpha_k$.
Chọn $x=\alpha_{k+1};y=\alpha_k$ và lưu ý
\[
0 < x - y < \frac{\pi }{3} < \pi \Rightarrow \cos \left( {\alpha _i - \alpha _j } \right) > \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2} \Rightarrow Q.E.D
\]