Chủ đề này có 748 trả lời

[henry0905]

câu c) CE cắt AM tai T
$\Delta PQM$ $\sim$ $\Delta ACM$
$\Rightarrow$ PQ/AC= PM/AM
$\Delta EST$ $\sim$ $\Delta ACT$
$\Rightarrow$ ES/AC=ET/AT
CE // ET$\Rightarrow$ PM/AM=ET/AT
$\Rightarrow$ ES=PQ
d) SQCM nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{BQS}$ = $\widehat{SMC}$ = $\widehat{ABC}$$\Rightarrow$ PE//SQ
$\Rightarrow$ dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-05-2012 - 09:12

[Doilandan]

Bài 34 :

Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao BE của tam giác ABC. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với OA, cắt AB tại F.
a) Cm : tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
b) BE cắt CF tại H. Gọi M là điểm đối xứng của H qua BC; HM cắt BC tại D. Cm : tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (K) và đường thẳng AD đồng quy.
c) Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q. Cm : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHD.
d) Cho $\widehat {CBA} = {45^0};\widehat {CBE} = {15^0}.$ Tính ${S_{\Delta AEF}}$theo R.

[Eizan]

Bài 34 :

Cho tam giác ABC nhọn ( AB > AC ) nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao BE của tam giác ABC. Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với OA, cắt AB tại F.
a) Cm : tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
b) BE cắt CF tại H. Gọi M là điểm đối xứng của H qua BC; HM cắt BC tại D. Cm : tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (K) và đường thẳng AD đồng quy.
c) Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q. Cm : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHD.
d) Cho $\widehat {CBA} = {45^0};\widehat {CBE} = {15^0}.$ Tính ${S_{\Delta AEF}}$theo R.

a. Cm : tứ giác BCEF nội tiếp. Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Vẽ đường kính AT của đường tròn (O)
Xét $\large \Delta ABT$ và $\large \Delta AIF$ có 2 góc bằng nhau
=> đồng dạng
=> $\large \widehat{AFI} = \widehat{ATB} =\widehat{ACB}$
=> tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kinh BC, tâm K là trung điểm BC

b. BE cắt CF tại H. Gọi M là điểm đối xứng của H qua BC; HM cắt BC tại D. Cm : tiếp tuyến tại E và F của đường tròn (K) và đường thẳng AD đồng quy.
Gọi N là trung điểm của AH dễ dàng cm được NE và NF là 2 tiếp tuyến của đường tròn (K) => đpcm

c. Đường thẳng EF cắt (O) tại P và Q. Cm : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHD.

OA vuông góc với PQ
=> OA là đường trung trực của PQ
=> AP = AQ
Xét $\large \Delta APF$ và $\large \Delta ABP$
có góc A chung
$\large \widehat{APF} = \widehat{ABP}$ (chắn 2 cung AP, AQ bằng nhau)
=>$\large \frac{AP}{AB}=\frac{AF}{AP}$
=> $\large AP^{2}=AF.AB$
Xét $\large \Delta AFH và \Delta ADB$ có 2 góc bằng nhau
=> $\large \frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}$
=> AH.AD=AF.AB
=>$\large AP^{2}=AH.AD$
=> $\large \Delta APH \sim \Delta ADP$
=> $\large \widehat{APH}=\widehat{ADP}$
=> AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHD

d. Cho $\widehat {CBA} = {45^0};\widehat {CBE} = {15^0}.$ Tính ${S_{\Delta AEF}}$theo R.
Từ các thông số dễ dàng tính ra 3 góc của tam giác ABC
góc A =60, góc B = 45, góc C = 75
$\large \widehat{BAC}=60^{o} =>\widehat{BOC}=120^{o} => BC = R\sqrt{3}$
$\large \widehat{ABC}=45^{o} =>\widehat{AOC}=90^{o} => AC = R\sqrt{2}$
Xét tam giác ACD vuông tại D
$\large AD=AC.sin\widehat{ACB}=AC.sin75^{o}$
$\large S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AD.BC=\frac{1}{2}R\sqrt{3}.R\sqrt{2}sin75$
Ta có $\large \Delta AEF\sim \Delta ABC$
=>$\large \frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}=\left ( \frac{AE}{AB} \right )^{2}= cos^{2}\widehat{A}=cos^{2}60^{o}=1/4$
=>$\large S_{\Delta AEF}=\frac{S_{\Delta ABC}}{4}$

Cách này ko sử dụng tới điểm M lại phải vẽ thêm đường kính, chắc là còn 1 cách khác để làm câu a và câu b. Bạn nào có cách khác có thể post lên cho mọi người tham khảo.
---------

Bài 35:
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ cát tuyến ABC với đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau ở D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AO tại H và cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa D và F). Gọi M là giao điểm của OD và BC. Chứng minh:
a. Tứ giác EMOF nội tiếp
b. AE, AF là 2 tiếp tuyến của (O)
c. Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với OF cắt CF tại P và EF tại Q. Cm: Q là trung điểm BP
d. DF cắt BC tại I, cm: $\large MI.MA=\frac{BC^{2}}{4}$

Hình gửi kèm

• 

[NLT]

Bài 36: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. 2 đường chéo AC, BD cắt nhau ở E. Hình chiếu vuông góc của E lên AD là F. Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:
a. CEFD là tứ giác nội tiếp
b. Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c. BE . DN = EN . BD
--------------------------
P/S: Lần đầu tham gia topic, có gì trùng lặp xin mấy bạn thông cảm nhé !

Bài 37: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đ­ường tròn đ­ường kính BD cắt BC tại E . Các đ­ường thẳng CD , AE lần l­ượt cắt đ­ường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đ­ược trong một đ­ường tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đư­ờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .
---------------------------------

[hoclamtoan]

c) Goi R là giao điểm của OF và BP.
$\Rightarrow BMOR$ nt $\Rightarrow \widehat{MBQ}+\widehat{FOD}=180^{o}$
EMOF nt $\Rightarrow \widehat{MEQ}+\widehat{FOD}=180^{o}$
$\Rightarrow \widehat{MEQ}=\widehat{MBQ}\Rightarrow EMQB$ nt
$\Rightarrow \widehat{EQM}=\widehat{CBE}=\widehat{EFC}\Rightarrow MQ//PC$, mà M là trung điểm BC nên Q là trung điểm PB.

d) $\Delta IMD\sim \Delta OMA\Rightarrow IM.MA=MO.MD=MB^{2}\Rightarrow$ đpcm.

[taitwkj3u]

36,c)
chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCF
suy ra ta có:
$\frac{BE}{EN}=\frac{BC}{CN} $ (1)
mà
$\frac{BC}{BD}=\frac{CE}{DF}$( do 2 tam giác BCE và BDF đồng dạng)(2)
$\frac{CN}{DN}=\frac{CE}{DF}$(3)
từ 1,2,3 suy ra ĐPCM

[taitwkj3u]

37, c)
ta có :
góc ACD=góc AED=GFD
suy ra AC//FG
d,là 3 đường cao của tam giác BDC

[henry0905]

Nhằm: ET // PM
$\Rightarrow$ AT/AM = ET/PM
$\Rightarrow$ PM/AM = ET/AT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-05-2012 - 09:11

[NLT]

Bài 38:
Cho tam giác vuông ABC (vuông tại A; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần l­ợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đ­ường tròn đ­ờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đ­ường tròn đư­ờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đư­ờng tròn.
b. CM là phân giác của $\angle BCS$
c. $ \frac{{TA}}{{TD}} = \frac{{TC}}{{TB}} $
-------------------------
P/S: Các bạn tiếp tục post bài tập nào !
--------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 08-05-2012 - 22:53

[NLT]

Bài 39.
Cho đ­ường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đ­ường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đư­ờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đư­ờng tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đ­ường tròn.
b/ Chứng minh LA là phân giác của $\angle MLN$
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA² = AI.AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ.
e/ Chứng minh tam giác KLN cân.
-----------------------
P/s: Những bài tập hay, khó đặc biệt là các câu cuối, các bạn nên post rõ hình vẽ và cách trình bày rõ ràng nhé , như vậy, topic của chúng ta sẽ thêm sôi nổi !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 08-05-2012 - 22:57

[NLT]

Bài 40:

Cho tam giác ABC không cân, đ­ường cao AH, nội tiếp trong đ­ường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đ­ường kính AD của đ­ờng tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:a) Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đ­ờng tròn tâm N và HE// CD.
b) M là tâm đ­ờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF.
------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 08-05-2012 - 22:59

[Eizan]

Bài 41
Cho đường tròn (O) có đường kính AB =2R. Gọi M là điểm bất kì thuộc (O) (MA <MB). Qua B vẽ đường thẳng (d) vuông góc với AB, tiép tuyến tại M cắt (d) tại N và AB tại K. AM cắt (d) tại E. OM cắt (d) tại H, gọi F là điểm đối xứng của E qua B.
a. Cm: tứ giác OAMN là hình thang.
b. Gọi C là giao điểm của AM và HK. Cm: $\large OC^{2}=OH.R$
c. Cm: 4 điểm A, H, F, K cùng thuộc một đường tròn. Giả sử tứ giác OCMN là hình bình hành. Tính OH theo R

Hình gửi kèm

• 

[Eizan]

Bài 38:
Cho tam giác vuông ABC (vuông tại A; AB > AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C). Gọi N và D lần l­ợt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đ­ường tròn đ­ờng kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đ­ường tròn đư­ờng kính MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đư­ờng tròn.
b. CM là phân giác của $\angle BCS$
c. $ \frac{{TA}}{{TD}} = \frac{{TC}}{{TB}} $

b. CM là phân giác của $\angle BCS$
Tứ giác CSDM nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{SCM}= \widehat{ADM}$
Tứ giác CDAB nội tiếp
$\Rightarrow$ $\widehat{BCM}= \widehat{ADM}$
$\Rightarrow$$\widehat{BCM}= \widehat{SCM}$
$\Rightarrow$ CM là tia phân giác góc BCS

c. $ \frac{{TA}}{{TD}} = \frac{{TC}}{{TB}} $
Xét tam giác BCT
AC và TN là 2 đường cao cắt nhau tại M
$\Rightarrow$ BM vuông góc với CT
mà CD vuông góc với MB
$\Rightarrow$ C, D, T thẳng hàng
dễ dàng cm được $\Delta TCA \sim \Delta TBD$
$\Rightarrow$ dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 17-05-2012 - 09:11

[chuot nhoc]

Bài 37: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đ­ường tròn đ­ường kính BD cắt BC tại E . Các đ­ường thẳng CD , AE lần l­ượt cắt đ­ường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đ­ược trong một đ­ường tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đư­ờng thẳng AC , DE và BF đồng quy .
---------------------------------

Mình k biết kẻ hình..............
Câu a và b chắc mọi người làm được!!!!!
Câu c:
Ta có: tứ giác AFBC nội tiếp (câu b) $\Rightarrow \widehat{FBA}=\widehat{FCA}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (1)
Lai có: Tứ giác ADEC nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DEA}=\widehat{DCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2)
Từ 1 và 2 $\Rightarrow \widehat{FBA}=\widehat{DEA} (=\widehat{FCA})$
==> sđ cung FD= sđ cung DG => FD = DG
Suy ra: $\Delta FBD=\Delta GBD$ (ch-cgv) => BF=BG
=> B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FG (3)
Lại có: $\Delta FBA=\Delta GBA$ (cgc) => AF=AG
=> A nằm trên đương trung trực của đoạn thẳng FG (4)
Từ 3 và 4 => AB là đương trung trực của FG => $AB\perp FG$
Mặt khác: tam giác ABC vuông tại A=> $AB\perp AC$
Suy ra: $FG//AC$ ( cùng vuông góc với AB) đpcm
Câu d: Ta có: $\widehat{BED}=90^{\circ} ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) \Rightarrow DE\perp BE hay DE\perp BC$ (5)
$\widehat{BFD}=90^{\circ}( ........) \Rightarrow BF\perp FD hay BF\perp DC$ (6)
$\widehat{BAC}=90^{\circ} (gt) \Rightarrow CA\perp BA hay CA\perp BD$ (7)
Từ 5, 6 ,7=> DE, BF, CA đều là đương cao của tam giác DBC
=> DE,BF,CA đồng quy( đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuot nhoc: 09-05-2012 - 01:29

[chuot nhoc]

Bài 39.
Cho đ­ường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đ­ường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đư­ờng tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát tuyến bất kì cắt đư­ờng tròn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.
a/ Chứng minh 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đ­ường tròn.
b/ Chứng minh LA là phân giác của $\angle MLN$
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh MA² = AI.AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng KN // AQ.
e/ Chứng minh tam giác KLN cân.
-----------------------
P/s: Những bài tập hay, khó đặc biệt là các câu cuối, các bạn nên post rõ hình vẽ và cách trình bày rõ ràng nhé , như vậy, topic của chúng ta sẽ thêm sôi nổi !

Bài này là bài 12 trong topic này đó bạn, chỉ có câu d và e khác thui
Mình chỉ làm đk câu d, còn câu e..........
Câu d: gọi giao điểm của OA vs (O) là E
Tứ giác AMOL nội tiếp $\Rightarrow \widehat{ALM}=\widehat{AOM}$ (1)
Mặt khác: $\widehat{AOM}$= sđ cungMF
$\widehat{MKN}$= $\frac{1}{2}$sđ cung MN
Mà cung MN= 2cungMF
Suy ra: $\widehat{MOF}=\widehat{MKN}$ (2)
Từ 1 và 2 => $\widehat{ALM}=\widehat{MKN}$
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuot nhoc: 09-05-2012 - 01:28

[NLT]

Mình k biết kẻ hình..............
Câu a và b chắc mọi người làm được!!!!!
Câu c:
Ta có: tứ giác AFBC nội tiếp (câu b) $\Rightarrow \widehat{FBA}=\widehat{FCA}$ ( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (1)
Lai có: Tứ giác ADEC nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DEA}=\widehat{DCA}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (2)
Từ 1 và 2 $\Rightarrow \widehat{FBA}=\widehat{DEA} (=\widehat{FCA})$
==> sđ cung FD= sđ cung DG => FD = DG
Suy ra: $\Delta FBD=\Delta GBD$ (ch-cgv) => BF=BG
=> B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FG (3)
Lại có: $\Delta FBA=\Delta GBA$ (cgc) => AF=AG
=> A nằm trên đương trung trực của đoạn thẳng FG (4)
Từ 3 và 4 => AB là đương trung trực của FG => $AB\perp FG$
Mặt khác: tam giác ABC vuông tại A=> $AB\perp AC$
Suy ra: $FG//AC$ ( cùng vuông góc với AB) đpcm
Câu d: Ta có: $\widehat{BED}=90^{\circ} ( góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) \Rightarrow DE\perp BE hay DE\perp BC$ (5)
$\widehat{BFD}=90^{\circ}( ........) \Rightarrow BF\perp FD hay BF\perp DC$ (6)
$\widehat{BAC}=90^{\circ} (gt) \Rightarrow CA\perp BA hay CA\perp BD$ (7)
Từ 5, 6 ,7=> DE, BF, CA đều là đương cao của tam giác DBC
=> DE,BF,CA đồng quy( đpcm)

Bạn chuot nhoc có thể tham khảo cách vẽ hình trên diễn đàn ở đây !
http://diendantoanho...=0
------------

[hoclamtoan]

Bài 41
Cho đường tròn (O) có đường kính AB =2R. Gọi M là điểm bất kì thuộc (O) (MA <MB). Qua B vẽ đường thẳng (d) vuông góc với AB, tiép tuyến tại M cắt (d) tại N và AB tại K. AM cắt (d) tại E. OM cắt (d) tại H, gọi F là điểm đối xứng của E qua B.
a. Cm: tứ giác OAMN là hình thang.
b. Gọi C là giao điểm của AM và HK. Cm: $\large OC^{2}=OH.R$
c. Cm: 4 điểm A, H, F, K cùng thuộc một đường tròn. Giả sử tứ giác OCMN là hình bình hành. Tính OH theo R

b) Hình như câu này có vấn đề ! Thử nhận xét rồi các bạn cho ý kiến :
Theo đề bài : cm được OH = OK nên : $OC^{2}=OH.R=OK.OA\Rightarrow \Delta OAC\sim \Delta OCK$ (?)

[hoclamtoan]

Bài này là bài 12 trong topic này đó bạn, chỉ có câu d và e khác thui
Mình chỉ làm đk câu d, còn câu e..........
Câu d: gọi giao điểm của OA vs (O) là E
Tứ giác AMOL nội tiếp $\Rightarrow \widehat{ALM}=\widehat{AOM}$ (1)
Mặt khác: $\widehat{AOM}$= sđ cungMF
$\widehat{MKN}$= $\frac{1}{2}$sđ cung MN
Mà cung MN= 2cungMF
Suy ra: $\widehat{MOF}=\widehat{MKN}$ (2)
Từ 1 và 2 => $\widehat{ALM}=\widehat{MKN}$
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị => đpcm

Làm tiếp câu e)
Vì KN // AQ $\Rightarrow \widehat{LKN}=\widehat{MLA}(dv);\widehat{LNK}=\widehat{NLA}(slt)$ và kết hợp với kết quả câu b) ta có đpcm.

[Eizan]

b) Hình như câu này có vấn đề ! Thử nhận xét rồi các bạn cho ý kiến :
Theo đề bài : cm được OH = OK nên : $OC^{2}=OH.R=OK.OA\Rightarrow \Delta OAC\sim \Delta OCK$ (?)

Mình có check lại, đề thì mình chép không sai. Nhưng mình đo trên máy tính thì đúng là không thể có đẳng thức đó. Có lẽ đề bị in nhầm chỗ nào đó. Để mình tìm lại đề cho đúng hơn. Cảm ơn bạn.

[davildark]

Bài 42
Cho (O;R) và S nằm ngoài đường tròn sao cho OS=2R Từ S kẻ 2 tiếp tuyến SA và SB Vẽ cát tuyến SDE bất kỳ
a) CM SAOB nội tiếp xác định tâm I
b) CM $SA^2=SD.SE$
c) Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt SB tại M CM MI là tiếp tuyến của (O)
d) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với OB cắt AB tại H và cắt EB tại K CM H là trung điểm DK