Chủ đề này có 5 trả lời

[iloveyou123]

N là số nguyên dương ( n>2) . Cmr trong các phân số 1/n , 2/n , 3/n ...n-1/n có 1 số chẵn các phân số tối giản?

[nthoangcute]

N là số nguyên dương ( n>2) . Cmr trong các phân số 1/n , 2/n , 3/n ...n-1/n có 1 số chẵn các phân số tối giản?

Bạn cần bài này lắm hay sao mà post lên Olympic.
Mình sẽ nghĩ hộ bạn bài này !!!

[nthoangcute]

N là số nguyên dương ( n>2) . Cmr trong các phân số $\frac{1}{n} , \frac{2}{n} , \frac{3}{n} ...\frac{n-1}{n}$ có 1 số chẵn các phân số tối giản?

Ta có:
Giả sử tồn tại 1 số lẻ các phân số tối giản
Mà vì là số lẻ, tức là lớn hơn 1
Chứng tỏ có tồn tại một Phân số $\frac{a}{n}$ là phân số tối giản.
Xét $a=\frac{n}{2}$, ta thấy $n>2$ nên $\frac{a}{n}$ không là phân số tối giản.
Xét $a \neq \frac{n}{2}$
Ta lại thấy: vì $\frac{a}{n}$ là phân số tối giản
nên $\frac{n-a}{n}$ là phân số tối giản
Mà $n-a \neq a$
Suy ra $\frac{a}{n}$ và $\frac{n-a}{n}$ là 2 phân số tối giản khác nhau
Mà vì tồn tại 1 số lẻ các phân số tối giản
Suy ra phải tồn tại 1 "em" nữa cũng là phân số tối giản khác 2 "em" kia.
Giả sử phân số tối giản đó là $\frac{b}{n}$
Lập luận tương tự ta được $\frac{n-b}{n}$ là phân số tối giản.
Suy ra lại tồn tại $\frac{c}{n}$ là phân số tối giản, ...
Dần dần ta thấy quy luật này tiếp tục mãi
Cho đến khi tất cả các phân số $\frac{1}{n} , \frac{2}{n} , \frac{3}{n} ...\frac{n-1}{n}$ đều là phân số tối giản.
Điều này xảy ra khi $n$ là số nguyên tố.
Nhưng khi đó, $n$ phải là số lẻ
Suy ra có $n-1$ phân số tối giản: $\frac{1}{n} , \frac{2}{n} , \frac{3}{n} ...\frac{n-1}{n}$
Mà $n-1$ chẵn nên vô lý.
Vậy trong các phân số $\frac{1}{n} , \frac{2}{n} , \frac{3}{n} ...\frac{n-1}{n}$ có 1 số chẵn các phân số tối giản

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 19-04-2012 - 15:10

[holme__3696]

Theo tôi, bạn nên tìm hiểu kĩ hơn về lý thuyết thặng dư đi. Còn bài này thì tôi miễn bàn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi holme__3696: 19-04-2012 - 15:10

[nthoangcute]

Theo tôi, bạn nên tim hiểu kĩ hơn về lý thuyết thặng dư đi

Thặng dư là gì hả anh ???
Em mới học lớp 9 thôi mà

[nthoangcute]

Theo tôi, bạn nên tìm hiểu kĩ hơn về lý thuyết thặng dư đi. Còn bài này thì tôi miễn bàn

Anh thử trình bày cách của anh đi, cho em mở rộng tầm mắt