Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a, b, c không âm.Chứng minh rằng:$\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tomoyochan3

tomoyochan3

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
Cho a, b, c không âm.Chứng minh rằng:
$\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$
Còn 2 tháng nữa.
Quyết tâm đậu ĐH!!!!

#2
alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
Cach1
Không mất tính tổng quát giả sử $a\ge b\ge c$ Khi đó sử dụng BĐT $AM-GM$ thì ta có
$$2\sqrt {{a^2} + bc} \le a + c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}};2\sqrt {{b^2} + ca} \le b + c + \frac{{{b^2} + ca}}{{b + c}};2\sqrt {{c^2} + ab} \le b + c + \frac{{{c^2} + ab}}{{b + c}}$$
Vậy ta cần chứng minh
$$3(a + b + c) \ge a + 2b + 3c + \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2} + a(b + c)}}{{b + c}}$$
Hay là
$$a + b \ge \frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}}$$
Nhưng nó hiển nhiên đúng do
$$\frac{{{a^2} + bc}}{{a + c}} \le \frac{{{a^2} + ac}}{{a + c}} = a;\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{b + c}} \le \frac{{{b^2} + bc}}{{b + c}} = b$$
Vậy BĐT được chứng minh
Cách 2
Ta vẫn giả sử $a\ge b\ge c$
Dễ thấy
$$\sqrt {{a^2} + bc} \le \sqrt {{a^2} + ac} \le a + \frac{c}{2};\sqrt {{b^2} + ac} + \sqrt {{c^2} + ab} \le \sqrt {2({b^2} + {c^2} + ab + ac)} $$
Vậy ta chỉ cần chứng minh
$$\sqrt {2({b^2} + {c^2} + ab + ac)} \le \frac{{a + 3b + 2c}}{2} \Leftrightarrow {(a - b - 2c)^2} + 8c(b - c) \ge 0$$
Có đpcm
Trước đây tôi từng thấy trên Mathlink.ro bài toán sau đây còn mạnh hơn bài toán trên
Với $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho $a+b+c=1$.Chứng minh rằng
$$\frac{3}{2} \ge \sqrt {{a^2} + bc} + \sqrt {{b^2} + ca} + \sqrt {{c^2} + ab} + abc$$
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh